\( y = x + 2 \) সরলরেখাটি \( x^2 + y^2 = 16 \) বৃত্তে যে জ্যা উৎপন্ন করে তার দৈর্ঘ্য কত?

প্রথমে, সরলরেখা \( y = x + 2 \) এবং বৃত্তের সমীকরণ হলো \( x^2 + y^2 = 16 \)। আমাদের লক্ষ্য হলো সেই জ্যাগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা, যেখানে সরলরেখা বৃত্তের সাথে স্পর্শ করে বা ছেদ করে।

প্রথমে, সরলরেখার সমীকরণে \( y \) এর মান স্থানান্তর করি:

\[ y = x + 2 \]

এখন, এই মানটি বৃত্তের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি:

\[ x^2 + (x + 2)^2 = 16 \]

বিস্তৃত করি:

\[ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 16 \]

\[ 2x^2 + 4x + 4 = 16 \]

সমীকরণটি সাধারণ করে নিই:

\[ 2x^2 + 4x + 4 - 16 = 0 \]

\[ 2x^2 + 4x - 12 = 0 \]

দ্বিগুণ বিভাজন করি:

\[ x^2 + 2x - 6 = 0 \]

এখন, এই কোয়াড্রেটিক সমীকরণের জন্য ডেল্টা নির্ণয় করি:

\[ \Delta = (2)^2 - 4 \times 1 \times (-6) = 4 + 24 = 28 \]

সুতরাং, সমাধানগুলোর জন্য:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7} \]

প্রতিটি \( x \) মানের জন্য, \( y \) মান নির্ণয় করি:

\[ y = x + 2 \]

অর্থাৎ, দুটি বিন্দু হবে:

• \( x_1 = -1 + \sqrt{7} \), \( y_1 = x_1 + 2 = -1 + \sqrt{7} + 2 = 1 + \sqrt{7} \)
• \( x_2 = -1 - \sqrt{7} \), \( y_2 = x_2 + 2 = -1 - \sqrt{7} + 2 = 1 - \sqrt{7} \)

এখন, দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

প্রতিস্থাপন করি:

\[ d = \sqrt{\left( (-1 - \sqrt{7}) - (-1 + \sqrt{7}) \right)^2 + \left( (1 - \sqrt{7}) - (1 + \sqrt{7}) \right)^2} \]

সরলীকরণ করি:

\[ d = \sqrt{\left( -1 - \sqrt{7} + 1 - \sqrt{7} \right)^2 + \left( 1 - \sqrt{7} - 1 - \sqrt{7} \right)^2} \]

\[ d = \sqrt{ (-2 \sqrt{7})^2 + (-2 \sqrt{7})^2 } \]

\[ d = \sqrt{ 4 \times 7 + 4 \times 7 } = \sqrt{ 28 + 28 } = \sqrt{ 56 } \]

সুতরাং, দৈর্ঘ্য:

\[ d = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2 \sqrt{14} \]

অতএব, সরলরেখা এবং বৃত্তের সংযোগস্থলের দৈর্ঘ্য হলো:

\( 2 \sqrt{14} \)