একটি বৃত্তের সমীকরণ  2x²+2y²+7x-5y+c=0 

বৃত্তটির কেন্দ্র কোনটি? 

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

\(2x^2 + 2y^2 + 7x - 5y + c = 0\)

প্রথমে, সমীকরণটিকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণের রূপে আনা যাক। প্রত্যেকটি সমাধান করতে, আমরা মূল সমীকরণটিকে ডিভাইড করব 2 দ্বারা:

\(x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + \frac{c}{2} = 0\)

এখন, আমরা \(x\) ও \(y\) এর জন্য পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করব।

1. \(x\) এর জন্য সম্পন্ন করাঃ

\(x^2 + \frac{7}{2}x\)

এখানে, \(\left(\frac{\text{অর্ধেক coefficient of } x}{2}\right)^2 = \left(\frac{\frac{7}{2}}{2}\right)^2 = \left(\frac{7}{4}\right)^2 = \frac{49}{16}\)

2. \(y\) এর জন্য সম্পন্ন করাঃ

\(y^2 - \frac{5}{2}y\)

এখানে, \(\left(\frac{\text{অর্ধেক coefficient of } y}{2}\right)^2 = \left(\frac{-\frac{5}{2}}{2}\right)^2 = \left(-\frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16}\)

সমীকরণে সম্পন্ন করার পরে:

\(x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} + y^2 - \frac{5}{2}y + \frac{25}{16} + \frac{c}{2} - \frac{49}{16} - \frac{25}{16} = 0\)

অর্থাৎ:

\(\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{4}\right)^2 + \frac{c}{2} - \frac{49}{16} - \frac{25}{16} = 0\)

এখন, সমীকরণের বর্গমূল অংশটি হলো:

\(\left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + \left(y - \frac{5}{4}\right)^2 = R^2\)

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:

এখানে, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:

\(-\frac{b}{2a}\) ও \(-\frac{d}{2a}\), যেখানে বৃত্তের সমীকরণে সাধারণ রূপে:

\(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\)

এখানে, D = \(\frac{7}{2}\), E = \(-\frac{5}{2}\)

কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে:

\(h = -\frac{D}{2} = -\frac{\frac{7}{2}}{2} = -\frac{7/2}{2} = -\frac{7}{4}\)

\(k = -\frac{E}{2} = -\left(-\frac{5/2}{2}\right) = \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4}\)

অতএব, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো:

\(\left(-\frac{7}{4}, \frac{5}{4}\right)\)

উত্তর:

\(\boxed{\left(-\frac{7}{4}, \frac{5}{4}\right)}\)