Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:
\[
x^2 + y^2 \pm 8x - 12y + 36 = 0
\]
এটি দুইটি পৃথক বৃত্তের সমীকরণের জন্য, যেখানে \(\pm 8x\) এবং \(-12y\) এর মান নির্ভর করে বৃত্তের আলাদা আলাদা সমীকরণে। তাই, দুটি বৃত্তের সমীকরণ আ??াদাভাবে লিখি:
প্রথম বৃত্তের জন্য:
\[
x^2 + y^2 + 8x - 12y + 36 = 0
\]
দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য:
\[
x^2 + y^2 - 8x - 12y + 36 = 0
\]
এখন, এই দুই বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।
---
**প্রথম বৃত্তের জন্য:**
\[
x^2 + 8x + y^2 - 12y + 36 = 0
\]
অংশগুলো পূর্ণবর্গে রূপান্তর করি:
\[
x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16
\]
\[
y^2 - 12y = (y - 6)^2 - 36
\]
অতএব,
\[
(x + 4)^2 - 16 + (y - 6)^2 - 36 + 36 = 0
\]
\[
(x + 4)^2 + (y - 6)^2 - 16 = 0
\]
\[
(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 16
\]
এখানে, কেন্দ্র \(C_1 = (-4, 6)\), ব্যাসার্ধ \(r_1 = 4\).
---
**দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য:**
\[
x^2 - 8x + y^2 - 12y + 36 = 0
\]
অংশগুলো পূর্ণবর্গে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16
\]
\[
y^2 - 12y = (y - 6)^2 - 36
\]
অতএব,
\[
(x - 4)^2 - 16 + (y - 6)^2 - 36 + 36 = 0
\]
\[
(x - 4)^2 + (y - 6)^2 - 16 = 0
\]
\[
(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 16
\]
এখানে, কেন্দ্র \(C_2 = (4, 6)\), ব্যাসার্ধ \(r_2 = 4\).
---
**এখন, দুই বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ:**
\[
C_1 = (-4, 6), \quad r_1 = 4
\]
\[
C_2 = (4, 6), \quad r_2 = 4
\]
দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব:
\[
d = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{(8)^2 + 0} = 8
\]
উভয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ:
\[
r_1 = r_2 = 4
\]
---
**বর্তমানে, দুই বৃত্তের সম্পর্ক:**
\[
d = 8 \quad \text{এবং} \quad r_1 + r_2 = 8
\]
অর্থাৎ, দুই বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব সমান তাদের যৌথ ব্যাসার্ধের সমান। এই পরিস্থিতিতে, দুই বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু বা একে অপরের সাথে স্পর্শ করবে।
এখানে, দুই বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু নির্ণয় করবো।
---
**দুটি বৃত্তের স্পর্শ বিন্দু নির্ণয়:**
এটি সরলরেখার সমীকরণে নির্ণয় করা যায়। কারণ, কেন্দ্রের সমন্বয়:
\[
C_1 = (-4, 6), \quad C_2 = (4, 6)
\]
এবং স্পর্শ বিন্দু অবশ্যই এই লাইন \(y = 6\) এ থাকবে, কারণ কেন্দ্রের y-সমন্বয় সমান।
দুটি বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x + 4)^2 + (6 - 6)^2 = 16 \Rightarrow (x + 4)^2 = 16 \Rightarrow x + 4 = \pm 4
\]
\[
x = 0 \quad \text{বা} \quad x = -8
\]
অর্থাৎ, স্পর্শ বিন্দুগুলি হচ্ছে:
\[
(0, 6) \quad \text{এবং} \quad (-8, 6)
\]
---
**এখন, \(y = 6\) রেখার উপর এই দুটি স্পর্শ বিন্দুর মধ্যে অংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব:**
দুটি বিন্দুর x-সমন্বয়:
\[
x_1 = -8, \quad x_2 = 0
\]
দৈর্ঘ্য:
\[
\Delta x = |0 - (-8)| = 8
\]
অতএব, \(y=6\) রেখার উপর এই দুটি বিন্দুর মধ্যে অঙ্কন করা অংশের দৈর্ঘ্য:
\[
\boxed{8}
\]
---
**তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে "একজোড়া বৃত্ত দ্বারা y=6 রেখার অংশের সমষ্টি কত একক?"**
প্রথম বৃত্তের অংশ:
যেহেতু রেখা \(y=6\) এবং বৃত্তের কেন্দ্র \(y=6\), ব্যাসার্ধ \(r=4\), রেখার সাথে বৃত্তের ইন্টারসেকশন হবে:
\[
(x + 4)^2 + (6 - 6)^2 = 16
\]
\[
(x + 4)^2 = 16
\]
\[
x = -4 \pm 4
\]
\[
x = 0 \quad \text{বা} \quad -8
\]
অর্থাৎ, প্রথম বৃত্তের অংশ:
\[
(-8, 6) \text{ থেকে } (0, 6)
\]
দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য একইভাবে:
\[
(x - 4)^2 + (6 - 6)^2 = 16
\]
\[
(x - 4)^2 = 16
\]
\[
x = 4 \pm 4
\]
\[
x= 8 \quad \text{বা} \quad 0
\]
তাই, দ্বিতীয় বৃত্তের অংশ:
\[
(0, 6) \text{ থেকে } (8, 6)
\]
---
**অতএব, দুই বৃত্তের অংশের মোট দৈর্ঘ্য:**
\[
\text{অংশ 1: } |-8 - 0| = 8
\]
\[
\text{অংশ 2: } |8 - 0| = 8
\]
সুতরাং, যোগফল:
\[
8 + 8 = 16
\]
**সুতরাং, উত্তর: \(\boxed{16}\)**
