\( 2x^2 + 2y^2 - 6x - 7 = 0 \) বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?

সমাধান:

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

\[ 2x^2 + 2y^2 - 6x - 7 = 0 \]

প্রথমে, সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

গুণন করে 2 দ্বারা:

\[ 2(x^2 - 3x) + 2y^2 = 7 \]

অথবা,

\[ 2(x^2 - 3x) + 2y^2 = 7 \]

এখন, সমীকরণটি লিখি:

\[ 2x^2 - 6x + 2y^2 = 7 \]

প্রতিটি অংশের জন্য, মূল পদ্ধতি হলো পূর্ণবর্গ সম্পন্ন করা। প্রথমে, x-সম্পর্কিত অংশে:

\[ 2(x^2 - 3x) + 2y^2 = 7 \]

তাহলে,

\[ x^2 - 3x \]

এবং পূর্ণবর্গের জন্য:

\[ x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \]

অর্থাৎ:

\[ (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \]

অতএব, সমীকরণটি এখন হয়:

\[ 2 \left[(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right] + 2y^2 = 7 \]

ব্যাখ্যা করে:

\[ 2(x - \frac{3}{2})^2 - 2 \times \frac{9}{4} + 2y^2 = 7 \]

\[ 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{18}{4} + 2y^2 = 7 \]

\[ 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + 2y^2 = 7 \]

উভয় পাশে \(\frac{9}{2}\) যোগ করি:

\[ 2(x - \frac{3}{2})^2 + 2y^2 = 7 + \frac{9}{2} \]

অর্থাৎ:

\[ 2(x - \frac{3}{2})^2 + 2y^2 = \frac{14}{2} + \frac{9}{2} = \frac{23}{2} \]

দুটি দিক দ্বারা 2 দ্বারা ভাগ করি:

\[ (x - \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{23}{4} \]

এখন, এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যা সাধারণ রূপে:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

এখানে, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (h, k):

\[ h = \frac{3}{2} \text{ এবং } k = 0 \]

উত্তর:

কেন্দ্রের স্থানাংক হলো \(\left(\frac{3}{2}, 0\right)\)