x² + y² + 2x + 2y + 5 = 0 এবং 4x² + 4y² - 8x - 8y + 1 = 0 দুটি বৃত্তের সমীকরণ।

দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা y-অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ—

Another Explanation (5):

প্রথমে, দুটি বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া হলোঃ

প্রথম বৃত্তের সমীকরণঃ

x2 + y2 + 2x + 2y + 5 = 0

দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণঃ

4x2 + 4y2 - 8x - 8y + 1 = 0

প্রথমে, দ্বিতীয় সমীকরণটি সাধারণ রূপে রূপান্তর করি:

4x2 - 8x + 4y2 - 8y + 1 = 0

অথবা,

4(x2 - 2x) + 4(y2 - 2y) + 1 = 0

এখন, সম্পূর্ণ স্কোয়ার করতে হবে: x² - 2x = (x - 1)² - 1 y² - 2y = (y - 1)² - 1 অতএব,

4[(x - 1)2 - 1] + 4[(y - 1)2 - 1] + 1 = 0

বিন্যাস করলে,

4(x - 1)2 - 4 + 4(y - 1)2 - 4 + 1 = 0

সংকুচিত করে,

4(x - 1)2 + 4(y - 1)2 - 7 = 0

অর্থাৎ,

4[(x - 1)2 + (y - 1)2] = 7

অতএব,

(x - 1)2 + (y - 1)2 = \frac{7}{4}

এটি একটি কেন্দ্রবৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র \((1, 1)\) ও ধ্রুবক \(\frac{7}{4}\), যার মান হলো ব্যাসার্ধ:

r = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}

এখন, y-অক্ষের ছেদাংশ নির্ণয় করি:

যেহেতু \(x=0\) হলে, y-অক্ষের উপর বিন্দুগুলো থাকে। সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে দিই:

(0 - 1)^2 + (y - 1)^2 = \frac{7}{4}

অর্থাৎ,

1 + (y - 1)^2 = \frac{7}{4}

অতএব,

(y - 1)^2 = \frac{7}{4} - 1 = \frac{7}{4} - \frac{4}{4} = \frac{3}{4}

অতএব,

y - 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

অতএব,

y = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

এখন, y-অক্ষের ছেদাংশের দৈর্ঘ্য:

d = \left| \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right| = \left| \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right| = \sqrt{3}

**অতএব, দ্বিতীয় বৃত্তের y-অক্ষের ছেদাংশের পরিমাণ হলো \(\boxed{\sqrt{3}}\)।**