\( x^2 + y^2 - 5x =0 \) ও \( x^2 + y^2 + 3x =0 \) বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রের দূরত্ব --

প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:

\[ x^2 + y^2 - 5x = 0 \]

এখন, এই সমীকরণটি সম্পূর্ণ করে বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি।

প্রথমে, সমীকরণটি লিখি:

\[ x^2 - 5x + y^2 = 0 \]

একটি সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, \( x^2 - 5x \) অংশটি সম্পূর্ণ করি।

\[ x^2 - 5x + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 + y^2 = 0 \]

এখানে, \(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)

অর্থাৎ, সমীকরণটি হবে:

\[ \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{25}{4} \]

অতএব, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র হলো:

\[ \left( \frac{5}{2}, 0 \right) \]

এবং এর ব্যাসার্ধ হলো:

\[ r_1 = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} \]

\[ x^2 + y^2 + 3x = 0 \]

এখন, এই সমীকরণটি সম্পূর্ণ ক??ি।

প্রথমে, লিখি:

\[ x^2 + 3x + y^2 = 0 \]

অংশটি সম্পূর্ণ করার জন্য, \( x^2 + 3x \) সম্পূর্ণ করি:

\[ x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 + y^2 = 0 \]

এখানে, \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\)

অর্থাৎ, সমীকরণটি হবে:

\[ \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + y^2 = \frac{9}{4} \]

অতএব, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র হলো:

\[ \left( -\frac{3}{2}, 0 \right) \]

এবং এর ব্যাসার্ধ হলো:

\[ r_2 = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \]

\[ C_1 = \left( \frac{5}{2}, 0 \right) \]

\[ C_2 = \left( -\frac{3}{2}, 0 \right) \]

দূরত্ব:

\[ d = \sqrt{\left( \frac{5}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) \right)^2 + (0 - 0)^2} \]

\[ d = \sqrt{\left( \frac{5}{2} + \frac{3}{2} \right)^2} \]

\[ d = \sqrt{\left( \frac{8}{2} \right)^2} = \sqrt{4^2} = 4 \]

অতএব, বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রের দূরত্ব হলো 4 units।