\( 2x^2+2y^2+6x+10y-1=0 \) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \( r \) হলে, \( r=? \)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো:

\( 2x^2 + 2y^2 + 6x + 10y - 1 = 0 \)

প্রথমে, সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের রূপে রূপান্তর করি। এর জন্য, প্রতিটি সমীকরণের সব কটি টার্মের সাথে 2 ভাগ করি:

\( x^2 + y^2 + 3x + 5y - \frac{1}{2} = 0 \)

এখন, এই সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করি।

প্রথমে, x এর জন্য:

\( x^2 + 3x = x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} \)

এবং, y এর জন্য:

\( y^2 + 5y = y^2 + 5y + \left(\frac{5}{2}\right)^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(y + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} \)

অতএব, সমীকরণটি লিখতে হবে:

\(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + \left(y + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} - \frac{1}{2} = 0 \)

সব সংখ্যাগুলিকে একসাথে যোগ করি:

\(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + \frac{1}{2} \)

দুটি ভগ্নাংশ যোগ করি:

\( \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{34}{4} = \frac{17}{2} \)

এবং, \(\frac{1}{2}\) কে একই ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:

\( \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)

তাই, ডানপাশের সমীকরণ হবে:

\(\frac{17}{2} + \frac{1}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

অতএব, সমীকরণটি হলো:

\(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{5}{2}\right)^2 = 9 \)

এখানে, কেন্দ্রের সমন্বয় হলো:

\( \left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right) \)

এবং, ব্যাসার্ধ \( r \) হলো:

\( r = \sqrt{9} = 3 \)

উত্তর:

\( r = 3 \)।