x² + y² - 6x + 4y + c = 0 বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।

স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ:

\[ x^2 + y^2 - 6x + 4y + c = 0 \]

ধাপ 1: বৃত্তের কেন্দ্র ও রেডিয়াস নির্ণয়

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণটি আমরা সম্পূর্ণ করি:

x^2 - 6x + y^2 + 4y + c = 0

x-দিকের সম্পূর্ণকরণ:

x^2 - 6x = (x^2 - 6x + 9) - 9 = (x - 3)^2 - 9

y-দিকের সম্পূর্ণকরণ:

y^2 + 4y = (y^2 + 4y + 4) - 4 = (y + 2)^2 - 4

অতএব, সমীকরণটি হয়:

(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + c = 0

অর্থাৎ,

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 13 - c

এখানে, কেন্দ্র \((h, k) = (3, -2)\) এবং রেডিয়াস \(r = \sqrt{13 - c}\)।

ধাপ 2: বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে

y-অক্ষের সমীকরণ: x = 0

বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করলে, কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের দূরত্বটি রেডিয়াসের সমান হবে। অর্থাৎ:

|x কেন্দ্র| = r

এখানে, x কেন্দ্রের মান 3, তাই:

|3| = r = \sqrt{13 - c}

অর্থাৎ,

3 = \sqrt{13 - c}

অতএব,

(3)^2 = 13 - c

9 = 13 - c

অতএব,

c = 13 - 9 = 4

ধাপ 3: স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়

সুতরাং, রেডিয়াস:

r = \sqrt{13 - c} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3

বৃত্তের কেন্দ্র \((3, -2)\), এবং এটি y-অক্ষের সাথে স্পর্শ করছে, অর্থাৎ স্পর্শ বিন্দুটি x = 0 এ। স্পর্শ বিন্দু কেন্দ্রের সরলরেখার দিক থেকে দূরত্ব 3। কারণ কেন্দ্রের x মান 3, এবং স্পর্শ বিন্দুটি x = 0, তাই:

দূরত্ব = |0 - 3| = 3

এবং এটি রেডিয়াসের সমান, যা সঠিক। এখন, স্পর্শ বিন্দুর y-অক্ষের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি। চিহ্নিত স্পর্শ বিন্দুটি \((0, y)\), যেখানে এটি কেন্দ্রের সরলরেখার উপর অবস্থিত। কেন্দ্র \((3, -2)\) থেকে বিন্দু \((0, y)\) এর দূরত্ব:

\sqrt{(0 - 3)^2 + (y + 2)^2} = 3

অর্থাৎ,

\sqrt{9 + (y + 2)^2} = 3

দুটি বা উভয় পাশের বর্গ করি:

9 + (y + 2)^2 = 9

অতএব,

(y + 2)^2 = 0

অর্থাৎ,

y + 2 = 0

অতএব,

y = -2

সুতরাং, স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো \((0, -2)\)।

উত্তর: (0, -2)