\( 2x^2 + 2y^2 + 6x + 10y - 1 = 0 \) বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

আমাদের দেওয়া সমীকরণটি হল:

\[ 2x^2 + 2y^2 + 6x + 10y - 1 = 0 \]

ধাপ 1: সমীকরণকে সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করুন

প্রথমে, সমীকরণের সব টার্মগুলোকে 2 দিয়ে ভাগ করুন যাতে করে কোঅফিশিয়েন্টস সহজ হয়:

\[ x^2 + y^2 + 3x + 5y - \frac{1}{2} = 0 \]

ধাপ 2: পূর্ণ বর্গের রূপে রূপান্তর করুন

প্রতিটি পরিবর্তনশীলের জন্য পূর্ণ বর্গ তৈরি করি:

• \( x^2 + 3x \): এখানে, \( \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 = x^2 + 3x + \frac{9}{4} \)
• \( y^2 + 5y \): এখানে, \( \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 = y^2 + 5y + \frac{25}{4} \)

অতএব, সমীকরণের সমন্বিত রূপ: \[ x^2 + 3x + \frac{9}{4} + y^2 + 5y + \frac{25}{4} = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} \] দুটি পাশের মান যোগ করি: \[ \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} \] সমীকরণের ডানদিক: \[ \frac{1}{2} = \frac{2}{4}, \quad \therefore \quad \frac{2}{4} + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{2 + 9 + 25}{4} = \frac{36}{4} = 9 \] অতএব, সমীকরণটি হয়: \[ \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{5}{2} \right)^2 = 9 \]

ধাপ 3: ব্যাসার্ধ নির্ণয়

প্রতীকী রূপে, বৃত্তের সমীকরণ: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] যেখানে, \( r \) হল ব্যাসার্ধ। এখানে, \( r^2 = 9 \), তাই: \[ r = \sqrt{9} = 3 \] **উত্তর:** বৃত্তের ব্যাসার্ধ **3**।