x² + y² - 4x + 8y = 0 বৃত্তের y-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কোনটি? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো: \[ x^2 + y^2 - 4x + 8y = 0 \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যা সাধারণ সূত্র: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \] রূপে রূপান্তরিত করা যাক। প্রথমে, \(x\) ও \(y\) এর টার্মগুলো আলাদা করে সম্পূর্ণ স্কোয়ারে রূপান্তর করি: \[ x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4 \] এবং \[ y^2 + 8y = y^2 + 8y + 16 - 16 = (y + 4)^2 - 16 \] এখন মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে দিই: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \] সরিয়ে দিই: \[ (x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 20 \] এখানে, কেন্দ্র \(\ (h, k) = (2, -4)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)। --- এখন, আমরা খুঁজব বৃত্তের y-অক্ষের খণ্ড অংশের দৈর্ঘ্য। y-অক্ষের জন্য \(x=0\) ধরি: \[ (0 - 2)^2 + (y + 4)^2 = 20 \] \[ 4 + (y + 4)^2 = 20 \] \[ (y + 4)^2 = 16 \] \[ y + 4 = \pm 4 \] অর্থাৎ, \[ y = 0 \quad \text{বা} \quad y = -8 \] অতএব, y-অক্ষের এই অংশের সূচক বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্কগুলো হলো: \[ (0, 0) \quad \text{এবং} \quad (0, -8) \] এই দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হলো: \[ \text{দৈর্ঘ্য} = |0 - (-8)| = 8 \] অতএব, y-অক্ষের খণ্ডের দৈর্ঘ্য হলো \(\boxed{8}\)।