Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ হলো:
\[
x^2 + y^2 - 4x + 8y = 0
\]
এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ, যা সাধারণ সূত্র:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
রূপে রূপান্তরিত করা যাক।
প্রথমে, \(x\) ও \(y\) এর টার্মগুলো আলাদা করে সম্পূর্ণ স্কোয়ারে রূপান্তর করি:
\[
x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4
\]
এবং
\[
y^2 + 8y = y^2 + 8y + 16 - 16 = (y + 4)^2 - 16
\]
এখন মূল সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে দিই:
\[
(x - 2)^2 - 4 + (y + 4)^2 - 16 = 0
\]
সরিয়ে দিই:
\[
(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 20
\]
এখানে, কেন্দ্র \(\ (h, k) = (2, -4)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)।
---
এখন, আমরা খুঁজব বৃত্তের y-অক্ষের খণ্ড অংশের দৈর্ঘ্য।
y-অক্ষের জন্য \(x=0\) ধরি:
\[
(0 - 2)^2 + (y + 4)^2 = 20
\]
\[
4 + (y + 4)^2 = 20
\]
\[
(y + 4)^2 = 16
\]
\[
y + 4 = \pm 4
\]
অর্থাৎ,
\[
y = 0 \quad \text{বা} \quad y = -8
\]
অতএব, y-অক্ষের এই অংশের সূচক বিন্দুগুলোর স্থানাঙ্কগুলো হলো:
\[
(0, 0) \quad \text{এবং} \quad (0, -8)
\]
এই দুই বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হলো:
\[
\text{দৈর্ঘ্য} = |0 - (-8)| = 8
\]
অতএব, y-অক্ষের খণ্ডের দৈর্ঘ্য হলো \(\boxed{8}\)।
