একটি পাখা  600 rpm কৌণিক বেগে ঘুরা  অবস্থায় সুইচ বন্ধ করা হলে   6s  এ পাখাটি কত বার ঘুরে থেমে যাবে? 

সমাধান:

প্রথমে, পাখার প্রাথমিক কোণিক বেগ (\( \omega_0 \)) নির্ণয় করি।

প্রদত্ত: 600 rpm

প্রথমে, rpm কে rad/s-এ রূপান্তর করি:

\( \omega_0 = 600 \times \frac{2\pi}{60} = 10\pi \ rad/s \)

এখন, ধরা যাক, পাখার ড্র্যাগ বা অসুবিধার জন্য গড় কৌণিক কমে যাওয়ার হার \( \alpha \)। পাখা সম্পূর্ণ থেমে যাবে, অর্থাৎ, শেষের কৌণিক বেগ হবে 0।

প্রশ্নে উল্লেখ নেই, তবে সাধারণভাবে, আমরা ধরি যে, ড্র্যাগ বা কৌণিক কমে যাওয়ার হার ধ্রুবক।

সমাধান:

1. প্রাথমিক কোণিক বেগ: \( \omega_0 = 10\pi \ rad/s \)
2. সময়ে \( t = 6s \) এ, কৌণিক বেগ: \( \omega = 0 \) (সম্পূর্ণ থেমে গেছে)
3. ধরা হলো, \( \alpha \) ধ্রুবক। তাহলে, কৌণিক বেগের সমীকরণ:

\( \omega = \omega_0 + \alpha t \)

যেহেতু পাখা ধীরে ধীরে থেমে যায়, তাহলে \( \alpha \) ঋণাত্মক হবে। এবং, কারণ এটি থেমে গেছে, তাই:

\( 0 = 10\pi + \alpha \times 6 \)

অর্থাৎ,

\( \alpha = - \frac{10\pi}{6} = - \frac{5\pi}{3} \ rad/s^2 \)

4. অর্থাৎ, পাখার কৌণিক বেগ শূন্যে পৌঁছাতে সময় নিয়েছে 6 সেকেন্ড, যা থেকে আমরা হিসাব করলাম কৌণিক অগ্রগতি।
5. কৌণিক অগ্রগতি (উত্তরাধিকার কৌণিক কোণ, \( \theta \)) হিসাব করি:

\( \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \)

\( \theta = 10\pi \times 6 + \frac{1}{2} \times \left(- \frac{5\pi}{3}\right) \times 6^2 \)

\( \theta = 60\pi - \frac{1}{2} \times \frac{5\pi}{3} \times 36 \)

\( \theta = 60\pi - \frac{5\pi}{6} \times 36 \)

\( \theta = 60\pi - 30\pi = 30\pi \ rad \)

6. প্রতিটি সম্পূর্ণ ঘুর্ণন (বার) সমান \( 2\pi \) রেডিয়াল। অতএব, মোট ঘূর্ণনের সংখ্যা হবে:

\( \text{Number of revolutions} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{30\pi}{2\pi} = 15 \)

7. অতএব, পাখাটি 6 সেকেন্ডে মোট 15 বার ঘুরে থেমে যাবে।

উত্তর:

প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত "30" বার সম্ভবত ভুল বা অন্য প্রেক্ষাপটে। তবে, এই গণনাতে দেখা যায়, পাখা 6 সেকেন্ডে 15 বার ঘুরে যাবে।