একটি গোলাকার বুদবুদে ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির হার 0.2mm/sec যখন ব্যাসার্ধ 7mm তখন ঐ গোলাকার আয়তন বৃদ্ধির হার হলো ?

ধরি, \(t\) সময়ে বুদবুদের ব্যাসার্ধ \(r\) এবং আয়তন \(V\)।

দেওয়া আছে, \(\frac{dr}{dt} = 0.2\) mm/sec, যখন \(r = 7\) mm

আমরা জানি, গোলকের আয়তন, \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

অতএব, \(\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)\)

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt}\)

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}\)

যখন \(r = 7\) mm, \(\frac{dr}{dt} = 0.2\) mm/sec, তখন,

\(\frac{dV}{dt} = 4 \pi (7)^2 (0.2)\)

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} = 4 \pi \cdot 49 \cdot 0.2\)

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} = 39.2 \pi\) mm\(^3\)/sec

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} \approx 39.2 \times 3.1416\) mm\(^3\)/sec

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} \approx 123.15\) mm\(^3\)/sec

যেহেতু 1 cc = 1 cm\(^3\) = 1000 mm\(^3\), সুতরাং

\(\frac{dV}{dt} \approx \frac{123.15}{1000}\) cc/sec

\(\Rightarrow \frac{dV}{dt} \approx 0.12315\) cc/sec

অতএব, গোলাকার আয়তন বৃদ্ধির হার প্রায় 0.1232 cc/sec। 🎉