যদি P(1,2) বিন্দুগামী সরলরেখা যেটি OP এর উপর লম্ব। লম্বদ্বয়কে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। তবে OA²+4OB²=?

প্রশ্ন:

যদি P(1,2) বিন্দুগামী সরলরেখা যেটি OP এর উপর লম্ব। লম্বদ্বয়কে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। তবে OA²+4OB²=?

সমাধান:

ধরি, O মূলবিন্দু (0,0)। তাহলে OP সরলরেখার ঢাল \(m_{OP} = \frac{2-0}{1-0} = 2\) 😮‍💨।

যেহেতু নির্ণেয় সরলরেখা OP এর উপর লম্ব, তাই সরলরেখাটির ঢাল \(m = -\frac{1}{m_{OP}} = -\frac{1}{2}\)।

সুতরাং, P(1,2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ: \(y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 1)\) 🤓 \(\implies 2y - 4 = -x + 1\) \(\implies x + 2y = 5\) 🥳

এখন, সরলরেখাটি x-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুতে y = 0 বসিয়ে পাই, \(x = 5\)। সুতরাং, A(5,0) এবং OA = 5।

আবার, সরলরেখাটি y-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। B বিন্দুতে x = 0 বসিয়ে পাই, \(2y = 5 \implies y = \frac{5}{2}\)। সুতরাং, B(0, \( \frac{5}{2} \)) এবং OB = \( \frac{5}{2} \)।

অতএব, \(OA^2 + 4OB^2 = 5^2 + 4(\frac{5}{2})^2 = 25 + 4 \cdot \frac{25}{4} = 25 + 25 = 50\) 😍।

সুতরাং, \(OA^2 + 4OB^2 = 50\) 🙏।