k এর মান কত হলে, 2x-y+7=0 এবং 3x+ky-5=0 রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হবে?

Another Explanation (5):

k এর মান কত হলে, \(2x - y + 7 = 0\) এবং \(3x + ky - 5 = 0\) রেখা দুটি পরস্পর লম্ব হবে?

প্রথমে, দুইটি রেখার স্লোপ (অভিমুখ) নির্ণয় করব।

প্রথম রেখা: \(2x - y + 7 = 0\)

এটি সমাধান করি y এর জন্য:

\[ 2x - y + 7 = 0 \Rightarrow y = 2x + 7 \] অতএব, প্রথম রেখার স্লোপ (m₁) হলো 2।

দ্বিতীয় রেখা: \(3x + ky - 5 = 0\)

এটিও সমাধান করি y এর জন্য:

\[ 3x + ky - 5 = 0 \Rightarrow ky = -3x + 5 \Rightarrow y = -\frac{3}{k}x + \frac{5}{k} \] অতএব, দ্বিতীয় রেখার স্লোপ (m₂) হলো \(-\frac{3}{k}\)।

দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে, তাদের স্লোপের গুণফল -1 হবে। অর্থাৎ:

\[ m_1 \times m_2 = -1 \] \[ 2 \times \left(-\frac{3}{k}\right) = -1 \] \[ -\frac{6}{k} = -1 \]

\[ -\frac{6}{k} = -1 \Rightarrow \frac{6}{k} = 1 \] \[ 6 = k \]