(2,3) এবং (4.5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশটি (3,4) বিন্দুতে যে অনুপাতে বিভক্ত হয় তা হল- 

ধরি, (2,3) এবং (4,5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশটি (3,4) বিন্দুতে \( k:1 \) অনুপাতে বিভক্ত হয়। 🧐

আমরা জানি, \( (x_1, y_1) \) এবং \( (x_2, y_2) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশকে যদি কোনো বিন্দু \( (x, y) \) \( m:n \) অনুপাতে বিভক্ত করে, তবে:

\( x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} \) এবং \( y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \)

এখানে, \( (x_1, y_1) = (2, 3) \), \( (x_2, y_2) = (4, 5) \) এবং \( (x, y) = (3, 4) \) 😊

সুতরাং, \( 3 = \frac{k \cdot 4 + 1 \cdot 2}{k+1} \) এবং \( 4 = \frac{k \cdot 5 + 1 \cdot 3}{k+1} \) হবে।

প্রথম সমীকরণ থেকে পাই:

\( 3(k+1) = 4k + 2 \)

\( 3k + 3 = 4k + 2 \)

\( k = 1 \)

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই:

\( 4(k+1) = 5k + 3 \)

\( 4k + 4 = 5k + 3 \)

\( k = 1 \)

অতএব, নির্ণেয় অনুপাত \( k:1 = 1:1 \)। 🎉