x²​ + y²​ - 4x - 6y - 7 = 0 বৃত্তের (-2, 1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ—​​​​​​

Another Explanation (5): প্রথমে, বৃত্তের সমীকরণটি পূর্ণাঙ্গ রূপে রূপান্তর করি: \[ x^2 + y^2 - 4x - 6y - 7 = 0 \] প্রথমে, বিন্দুসমূহের জন্য সম্পূরক সম্পাদনা করি: \[ x^2 - 4x + y^2 - 6y = 7 \] এখন, পৃথক করে \(x\) ও \(y\)-এর জন্য সম্পূরক যোগ করি: \[ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 7 + 4 + 9 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 20 \] অর্থাৎ, এই বৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, 3)\) এবং রেডিয়াস \(r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)। বৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, 3)\) এবং স্পর্শক বিন্দু \(P(-2, 1)\) এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি: \[ d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] যেহেতু, স্পর্শক সরলরেখা থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব \(d\) সমান রেডিয়াস \(r\), তাই স্পর্শক রেখার সমীকরণটি কেন্দ্রের থেকে নির্ণয় করব। স্পর্শক রেখার সমীকরণ: \[ \text{Line passing through } P(-2, 1) \text{ and } C(2, 3) \] প্রথমে, রেখার ধ্রুবক স্লোপ (slope): \[ m = \frac{3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] তাই, রেখার সমীকরণ: \[ y - 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \] এখানে, সরলরেখার সমীকরণ: \[ y - 1 = \frac{1}{2}x + 1 \] \[ y = \frac{1}{2}x + 2 \] এখন, স্পর্শকের সমীকরণ একটি সরলরেখার সমীকরণ যে, \(2x + y + c = 0\) এরূপ আকারে থাকবেঃ প্রতিপাদ্য হিসেবে, স্পর্শক রেখার সমীকরণ: \[ 2x + y + c = 0 \] পরে, এই রেখা কেন্দ্র থেকে দূরত্ব: \[ d = \frac{|2 \times 2 + 3 + c|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|4 + 3 + c|}{\sqrt{5}} = \frac{|7 + c|}{\sqrt{5}} \] এই দূরত্বটি রেডিয়াসের সমান, অর্থাৎ: \[ \frac{|7 + c|}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \] \[ |7 + c| = 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 2 \times 5 = 10 \] অর্থাৎ, \[ 7 + c = \pm 10 \] দুটি সমাধান: 1. \(7 + c = 10 \Rightarrow c = 3\) 2. \(7 + c = -10 \Rightarrow c = -17\) কিন্তু, স্পর্শক বিন্দু \(P(-2, 1)\) দিয়ে এই রেখার সমীকরণ পরীক্ষা করলে, আমরা দেখতে পারব কোনটি সঠিক। স্পর্শক সমীকরণ \(2x + y + c = 0\) এ \(P(-2, 1)\) বসিয়ে: \[ 2(-2) + 1 + c = 0 \] \[ -4 + 1 + c = 0 \] \[ c = 3 \] অতএব, সঠিক সমাধান \(c = 3\)। অর্থাৎ, স্পর্শকের সমীকরণ: \[ 2x + y + 3 = 0 \] **উত্তর: \(\boxed{2x + y + 3 = 0}\)**