তিনটি ভেক্টর   ${\displaystyle \overrightarrow{a}=(1,1,2),\overrightarrow{b}=(2,1,3),\overrightarrow{c}=(3,4,1)}$  দ্বারা বেষ্টিত একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

ভেক্টর দ্বারা বেষ্টিত আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয়

তিনটি ভেক্টর \(\vec{a}=(1,1,2)\), \(\vec{b}=(2,1,3)\) এবং \(\vec{c}=(3,4,1)\) দ্বারা বেষ্টিত আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন নির্ণয় করতে, আমরা ভেক্টর ত্রয়ের স্কেলার ট্রিপল গুণফল (Scalar Triple Product) বের করব। স্কেলার ট্রিপল গুণফল হলো ভেক্টর তিনটির ডট গুণফল এবং ক্রস গুণফলের মিশ্রণ।

স্কেলার ট্রিপল গুণফল নির্ণয়ের সূত্র:

\[ V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \]

প্রথমে, \(\vec{b}\) এবং \(\vec{c}\) এর ক্রস গুণফল নির্ণয় করি:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 4) - \hat{j}(2 \cdot 1 - 3 \cdot 3) + \hat{k}(2 \cdot 4 - 1 \cdot 3) \] \[ = \hat{i}(1 - 12) - \hat{j}(2 - 9) + \hat{k}(8 - 3) = -11\hat{i} + 7\hat{j} + 5\hat{k} = (-11, 7, 5) \]

এখন, \(\vec{a}\) এর সাথে \(\vec{b} \times \vec{c}\) এর ডট গুণফল নির্ণয় করি:

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (1, 1, 2) \cdot (-11, 7, 5) = (1 \cdot -11) + (1 \cdot 7) + (2 \cdot 5) = -11 + 7 + 10 = 6 \]

অতএব, আয়তন:

\[ V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = |6| = 6 \]

সুতরাং, ভেক্টর তিনটি দ্বারা বেষ্টিত আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন 6 ঘন একক। 🥳

```