\( y=2x+b \) রেখাটি \( y^2=16x \) পরাবৃত্তের স্পর্শক হলে \( b \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া রেখাটি হলো: \[ y = 2x + b \] এবং পরাবর্তের সমীকরণ হলো: \[ y^2 = 16x \] আমরা জানি যে, রেখাটি পরাবর্তের স্পর্শক হলে, রেখাটির এবং পরাবর্তের একমাত্র স্পর্শক বিন্দু থাকবে। অর্থাৎ, রেখাটি এবং পরাবর্তের সমীকরণের সমাধান একত্রে একটি একমাত্র সমাধান থাকবে। প্রথমত, রেখাটি থেকে \(x\) এর মান প্রকাশ করি: \[ x = \frac{y - b}{2} \] এখন, এই \(x\) এর মান পরাবর্তের সমীকরণে বসাই: \[ y^2 = 16 \times \frac{y - b}{2} \] এখন, সমীকরণটি সহজ করি: \[ y^2 = 8(y - b) \] \[ y^2 = 8y - 8b \] একটি বা সমাধানের জন্য, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি: \[ y^2 - 8y + 8b = 0 \] যেহেতু রেখাটি এবং পরাবর্ত একমাত্র স্পর্শক বিন্দুতে ছুঁয়েছে, এই সমীকরণের জন্য ডিসক্রিমিন্যান্ট \(D\) শূন্য হতে হবে: \[ D = 0 \] ডিসক্রিমিন্যান্টের মান: \[ D = (অভিব্যক্তি) = (8)^2 - 4 \times 1 \times 8b = 64 - 32b \] অতএব, \[ 64 - 32b = 0 \] অর্থাৎ, \[ 32b = 64 \] \[ b = \frac{64}{32} = 2 \] সুতরাং, \(b\) এর মান হলো \(\boxed{2}\)।