int_0^(oo)(22dx)/(x^2-14x+170) এর মান কত? 

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{\infty} \frac{22}{x^2 - 14x + 170} \, dx \) এর মান নির্ণয় করো। 🤔

সমাধান:

প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রান্ডটিকে একটু সরল করার চেষ্টা করি।

\( \int_{0}^{\infty} \frac{22}{x^2 - 14x + 170} \, dx = 22 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2 - 14x + 170} \, dx \)

এখন, \( x^2 - 14x + 170 \) রাশিটিকে \( (x - a)^2 + b^2 \) আকারে প্রকাশ করার চেষ্টা করি।

\( x^2 - 14x + 170 = x^2 - 14x + 49 + 121 = (x - 7)^2 + 11^2 \)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\( 22 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x - 7)^2 + 11^2} \, dx \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{u^2 + a^2} \, du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C \)

এখানে, \( u = x - 7 \) এবং \( a = 11 \)। তাহলে, \( du = dx \)। সুতরাং,

\( 22 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x - 7)^2 + 11^2} \, dx = 22 \left[ \frac{1}{11} \arctan\left(\frac{x - 7}{11}\right) \right]_{0}^{\infty} \)

\( = 2 \left[ \arctan\left(\frac{x - 7}{11}\right) \right]_{0}^{\infty} \)

\( = 2 \left[ \lim_{x \to \infty} \arctan\left(\frac{x - 7}{11}\right) - \arctan\left(\frac{0 - 7}{11}\right) \right] \)

\( = 2 \left[ \arctan(\infty) - \arctan\left(-\frac{7}{11}\right) \right] \)

আমরা জানি, \( \arctan(\infty) = \frac{\pi}{2} \) এবং \( \arctan(-x) = -\arctan(x) \)।

\( = 2 \left[ \frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{7}{11}\right) \right] \)

\( = \pi + 2 \arctan\left(\frac{7}{11}\right) \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{\infty} \frac{22}{x^2 - 14x + 170} \, dx = \pi + 2 \arctan\left(\frac{7}{11}\right) \)

যদি প্রশ্নকর্তা \( \arctan\left(\frac{7}{11}\right) \) এর মান numerical approximation চান, তবে সেটিও দেওয়া যেতে পারে। অন্যথায়, এটাই উত্তর। 🎉