P এবং 2P মানের দুইটি বলের লব্ধি ১ম বলটির উপর লম্ব হলে, বলম্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণ নিচের কোনটি?.
সঠিক উত্তরঃ
C.
120°
Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান
ধরি, দুইটি বলের বলের মান যথাক্রমে \( P \) এবং \( 2P \)। এই দুই বলের লব্ধি 1ম বলটির উপর লম্ব, অর্থাৎ, এই দুই বলের ভেক্টর যোগফল 1ম বলের ভেক্টরের উপর লম্ব।
ধাপ 1: ভেক্টর উপস্থাপনা
ধরি, বলগুলোকে একটি সমতলে রেখা ধরে রেখেছি।
- প্রথম বলের ভেক্টর: \( \vec{A} = P \hat{i} \)
- দ্বিতীয় বলের ভেক্টর: \( \vec{B} = 2P (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) \)
এখানে, \( \theta \) হলো বলের মধ্যবর্তী কোণ, যা আমাদের খুঁজতে হবে।
ধাপ 2: ভেক্টর যোগফল
ভেক্টর যোগফল: \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \)
অর্থাৎ,
\[ \vec{R} = P \hat{i} + 2P (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = P (1 + 2 \cos \theta) \hat{i} + 2P \sin \theta \hat{j} \]ধাপ 3: লম্বত্বের শর্ত
বলম্বের জন্য, \( \vec{R} \) এর সাথে প্রথম বল \( \vec{A} \) এর মধ্যে কোণ 90°।
অর্থাৎ, \( \vec{A} \) এবং \( \vec{R} \) এর ডট প্রোডাক্ট 0 হবে:
\[ \vec{A} \cdot \vec{R} = 0 \] \[ P \hat{i} \cdot \left[ P (1 + 2 \cos \theta) \hat{i} + 2P \sin \theta \hat{j} \right] = 0 \] \[ P \times P (1 + 2 \cos \theta) + P \times 2P \sin \theta \times 0 = 0 \] \[ P^2 (1 + 2 \cos \theta) = 0 \] (উল্লেখ্য: ডট প্রোডাক্টের জন্য, \( \hat{i} \cdot \hat{i} = 1 \), \( \hat{i} \cdot \hat{j} = 0 \)।) তাই, \[ P^2 (1 + 2 \cos \theta) = 0 \] \[ 1 + 2 \cos \theta = 0 \] \[ 2 \cos \theta = -1 \] \[ \cos \theta = -\frac{1}{2} \]