\( P, P \) সমবিন্দু দুই টি বলের লব্ধি \( P \) হলে বলদ্বয়ের মধ‍্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান:

ধরা যাক, দুইটি বলের কেন্দ্রবিন্দু \( P \) এবং তার মধ্যে দূরত্ব \( P P \)। বলদ্বয়ের সমবিন্দু \( P \) হওয়ায়, বলদ্বয় একই রেখার উপর রয়েছে এবং তাদের কেন্দ্রবিন্দু \( P \) এ মিলিত।

আসুন, দুইটি বলের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \( R_1 \) এবং \( R_2 \)।

তাদের কেন্দ্রবিন্দু \( A \) এবং \( B \) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করি।

চিত্রের মতো ধরি:

চিত্র অনুযায়ী, বলদ্বয় \( A \) এবং \( B \) এর কেন্দ্র, এবং তাদের কেন্দ্রবিন্দু \( P \) এ মিলিত।

বলদ্বয় উপরে বা নীচে অবস্থান করুক, তবে তাদের কেন্দ্রবিন্দু \( P \) এ অবস্থান হওয়ায়, দুই বলের কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব \( P P \) সমান থাকছেঃ

এখন, বলদ্বয় দুইটির কেন্দ্র \( A \) ও \( B \) থেকে \( P \) পর্যন্ত অঙ্কন করে, এবং বলদ্বয় \( A \) ও \( B \) এর কেন্দ্র থেকে \( P \) এ রেখাগুলি আঁকি।

তাদের কেন্দ্র \( A \) ও \( B \) থেকে \( P \) এর জন্য কোণগুলো হয় \( \angle APB \)।

চিত্র অনুযায়ী, বলদ্বয় দুটি স্পর্শ রেখা দ্বারা সংযুক্ত থাকায়, এই দুটি বলের কেন্দ্র ও স্পর্শ বিন্দুগুলির মধ্যে কোণের মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমত, বলদ্বয় সমবিন্দু \( P \) এ থাকায়, তাদের কেন্দ্র থেকে \( P \) পর্যন্ত রেখাগুলির মধ্যে কোণটি হয়:

তবে, এই পরিস্থিতিতে, বলদ্বয় দুটি একে অপরের সঙ্গে স্পর্শ করে বা সংযুক্ত থাকে, এবং কেন্দুলীয় কোণটি হয়:

এটি মূলতঃ, দুইটি বলের কেন্দ্রের মধ্যে কোণ যার জন্য বলদ্বয়ের কেন্দ্রবিন্দু \( P \) থাকে, সেটি হল:

উত্তর: 120°