3p এবং 2p মানের বল দুইটির লব্ধির মান R। যদি প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয়, তবে লব্ধির মানও দ্বিগুণ হয়। বলদ্বয়ের মধ্যবর্তি কোণ হবে-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: 3p এবং 2p মানের বল দুইটির লব্ধির মান R। যদি প্রথম বলের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয়, তবে লব্ধির মানও দ্বিগুণ হয়। বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো। সমাধান: ধরা যাক, বলদ্বয়ের মান হলো \(A = 3p\) এবং \(B = 2p\)। প্রথম লব্ধি: \[ A + B = R \] অর্থাৎ, \[ 3p + 2p = R \implies 5p = R \] অতএব, \[ p = \frac{R}{5} \] আমাদের বিবেচনা করতে হবে যে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য আমরা ব্যবহার করব টেলর সূত্র বা অভ্যন্তরীণ কোণের সম্পর্ক। তবে সাধারণত, দুই বলের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের জন্য, আমরা বলের ভেক্টর সমীকরণ ব্যবহার করি। বলদ্বয়ের ভেক্টর সমীকরণ: ধরা যাক, বলদ্বয় \(A\) এবং \(B\) দুটি ভেক্টর, যার মান যথাক্রমে \(A = 3p\) এবং \(B = 2p\)। দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের জন্য, আমরা জানি: \[ A \cdot B = |A||B|\cos \theta \] এখানে, \[ |A| = 3p, \quad |B| = 2p \] এবং, বলদ্বয় দ্বিগুণ হলে, অর্থাৎ, বলের পরিমাণ দ্বিগুণ হলে, এটি মানে: \[ A' = 2A = 6p, \quad B' = 2B = 4p \] নতুন বলদ্বয়ের লব্ধি: \[ A' + B' = 6p + 4p = 10p \] অর্থাৎ, নতুন লব্ধি মান দ্বিগুণ হয়েছে: \[ 2R = 2 \times 5p = 10p \] এখন, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের জন্য, আমরা প্রথমে বলদ্বয় \(A\) ও \(B\) এর ভেক্টর সমীকরণে ফিরে যাবো। যেহেতু বলদ্বয় দ্বিগুণ হলে লব্ধির মান দ্বিগুণ হয়, তাহলে বলদ্বয় দ্বিগুণ হলে, বলের ভেক্টর সমন্বয়েও কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না, অর্থাৎ, বলদ্বয় একই কোণে থাকছে। তাহলে, বলদ্বয় \(A\) ও \(B\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য: \[ A \cdot B = |A||B|\cos \theta \] আমাদের কাছে: \[ A \cdot B = |A||B|\cos \theta \] প্রথমত, বলদ্বয় \(A\) ও \(B\) এর ভেক্টর সমীকরণ লিখি: \[ A = 3p \quad \text{(উপাদান হিসেবে ধরে নিচ্ছি, ভেক্টর হিসেবে)} \] \[ B = 2p \quad \text{(উপাদান হিসেবে ধরে নিচ্ছি)} \] তবে, যেহেতু প্রশ্নে সরাসরি বলের মান দেওয়া আছে, তাহলে বলের মধ্যবর্তী কোণের জন্য, আমরা এই সূত্র ব্যবহার করব: আমরা জানি, বলের মানের উপর ভিত্তি করে, বলদ্বয় দ্বিগুণ হলে, বলের মানের সাথে কোণের সম্পর্ক পরিবর্তিত হয় না। তবে, এখানে উল্লেখ্য যে, বলদ্বয় দ্বিগুণ হলে, লব্ধির মান দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ, এটি নিশ্চিত করে যে বলদ্বয় একই কোণে বা সমান্তরাল। অতএব, বলদ্বয় এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য, সাধারণত বলের মান ও কোণের সম্পর্ক হয়: \[ \cos \theta = \frac{A \cdot B}{|A||B|} \] যেহেতু বলের মান দ্বিগুণ হলে, লব্ধির মান দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ, বলদ্বয় একই কোণে থাকছে না (কারণ, কোণের পরিবর্তন হলে লব্ধির মান পরিবর্তিত হবে)। নির্দিষ্ট করে বললে, বলের মান দ্বিগুণ হলে, বলদ্বয় এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর মান নির্ণয় করতে: আমরা জানি, বলদ্বয় দ্বিগুণ হলে, বলের মানের দ্বিগুণ হয়, অর্থাৎ, বলদ্বয় একই কোণে থাকলে, এর মানে হলো, বলদ্বয় এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta = 120^\circ\)। উপসংহার: বলদ্বয় এর মধ্যবর্তী কোণ \(\boxed{120^\circ}\)। **উত্তর:** 120°