একটি কণা একইসাথে তিনটি বেগ 7m/s, 8m/s এবং 13m/s ধারণ করে। কণাটি স্থির থাকলে, এর ক্ষুদ্রতম বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত হবে?
60°
প্রশ্ন অনুযায়ী, কণাটি তিনটি ভিন্ন বেগে চলতে পারে: \(7\,m/s\), \(8\,m/s\) এবং \(13\,m/s\)। কণাটি যদি স্থির থাকে, তাহলে এর ভেক্টর সমন্বয় করতে হবে।
ধরা যাক, তিনটি ভেক্টর হলো:
- \(\vec{A}\) যার Magnitude \(7\,m/s\)
- \(\vec{B}\) যার Magnitude \(8\,m/s\)
- \(\vec{C}\) যার Magnitude \(13\,m/s\)
আমাদের লক্ষ্য হলো, এই তিনটি ভেক্টর থেকে দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) খুঁজে বের করা, যাতে তাদের যোগফল শূন্য হয়। অর্থাৎ, কণা যদি স্থির থাকে, তাহলে তিনটি ভেক্টর একটি বন্ধ চক্র গঠন করবে।
অর্থাৎ,
\[ \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0 \]তাহলে, প্রথমে মনে করি, দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) যোগফল \(\vec{D}\) তৈরি করে, যেখানে:
\[ \vec{D} = \vec{A} + \vec{B} \]তাহলে, \(\vec{C}\) এর সাথে এই \(\vec{D}\) ভেক্টর যোগফল শূন্য হবে, অর্থাৎ:
\[ \vec{D} + \vec{C} = 0 \]অর্থাৎ, \(\vec{D}\) এবং \(\vec{C}\) বিপরীত দিকের ভেক্টর।
এখন, \(\vec{D}\) এর Magnitude খুঁজে বের করি:
\[ |\vec{D}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta} \]এখানে, \(\theta\) হলো \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ।
আমাদের লক্ষ্য হলো, \(\vec{D}\) এর সাথে \(\vec{C}\) এর বিপরীত দিকের ভেক্টর হতে হলে, \(\vec{D}\) এর মানের সমান এবং বিপরীত দিকের হতে হবে \(\vec{C}\) এর। অর্থাৎ,
\[ |\vec{D}| = |\vec{C}| = 13\,m/s \]তাহলে,
\[ \sqrt{7^2 + 8^2 + 2 \times 7 \times 8 \cos \theta} = 13 \]এখন, সমীকরণটি সমাধান করি:
\[ \sqrt{49 + 64 + 112 \cos \theta} = 13 \]দুটি পক্ষের বর্গ করি:
\[ 49 + 64 + 112 \cos \theta = 169 \]সংখ্যাগুলি যোগ করি:
\[ 113 + 112 \cos \theta = 169 \]অতঃপর, \(\cos \theta\) এর মান নির্ণয় করি:
\[ 112 \cos \theta = 169 - 113 = 56 \] \[ \cos \theta = \frac{56}{112} = \frac{1}{2} \]অতএব,
\[ \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ \]উত্তর:
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ হল \(\boxed{60^\circ}\)।