\( 3x^2-2x+1=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রদত্ত সমীকরণ: \( 3x^2 - 2x + 1 = 0 \)

সমীকরণের মূলদ্বয়: \( \alpha \) ও \( \beta \)

নির্ণয় করি, এর মূলদ্বয় সম্পর্ক:

• সাম্যহীন: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• গুণফল: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

এখানে, \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( c = 1 \)

অতএব, মূলদ্বয়:

\[ \alpha + \beta = -\frac{-2}{3} = \frac{2}{3} \] \[ \alpha \beta = \frac{1}{3} \]

আমাদের লক্ষ্য: মূলদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি, অর্থাৎ:

\[ \alpha^2 + \beta^2 \]

এটি নির্ণয় করতে পারি, মূলদ্বয় সম্পর্ক থেকে:

\[ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2 \alpha \beta \]

অতএব:

\[ \alpha^2 + \beta^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} - \frac{2}{3} \]

এখন, \(\frac{2}{3}\) কে \(\frac{6}{9}\) এ রূপান্তর করি:

\[ \alpha^2 + \beta^2 = \frac{4}{9} - \frac{6}{9} = -\frac{2}{9} \]

অতএব, সমাধান হলো:

উত্তর: \( -\frac{2}{9} \)