\( 2x + 3y - 4 = 0 \) এবং \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = P \) একই সরলরেখা নির্দেশ করলে P এর মান-

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

প্রদত্ত দুটি সরলরেখা সমান হলে, \( 2x + 3y - 4 = 0 \) এবং \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = P \), তাহলে P এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে, দুইটি সরলরেখার সমানত?? শর্ত অনুসারে, তারা একই সরলরেখা। অর্থাৎ, তাদের সমীকরণ একে অপরের স্কেল দ্বারা গুণিত।

প্রথম রেখার সমীকরণ:

\[ 2x + 3y - 4 = 0 \]

দ্বিতীয় রেখার সমীকরণ:

\[ x \cos \alpha + y \sin \alpha = P \]

দুটি রেখার সমীকরণের জন্য, প্রথমটির সাধারণ রূপ হলো:

\[ A_1 x + B_1 y + C_1 = 0 \] যেখানে, \( A_1 = 2 \), \( B_1 = 3 \), \( C_1 = -4 \)

অন্যদিকে, দ্বিতীয়টির রূপ হলো:

\[ A_2 x + B_2 y + C_2 = 0 \] যেখানে, \( A_2 = \cos \alpha \), \( B_2 = \sin \alpha \), এবং এটি সমাধান করতে হবে P এর মান নির্ণয় করতে।

দুটি রেখার জন্য, একই সরলরেখা হলে, তাদের সাধারণ রূপের গুণনীয়তা হবে:

\[ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \]

অর্থাৎ:

\[ \frac{2}{\cos \alpha} = \frac{3}{\sin \alpha} = \frac{-4}{P} \]

প্রথম দুই অনুপাতের সমাধান:

\[ \frac{2}{\cos \alpha} = \frac{3}{\sin \alpha} \] এখানে, cross-multiplied করে: \[ 2 \sin \alpha = 3 \cos \alpha \] অথবা, \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3}{2} \] অর্থাৎ, \[ \tan \alpha = \frac{3}{2} \]

এখন, ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে:

\[ \sin \alpha = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}, \quad \cos \alpha = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \] উপযুক্ত রূপে, যদি: \[ \sin \alpha = \frac{3k}{r} \quad \text{এবং} \quad \cos \alpha = \frac{2k}{r} \] তাহলে, \[ r = \sqrt{(2k)^2 + (3k)^2} = k \sqrt{4 + 9} = k \sqrt{13} \] এবং, \[ \sin \alpha = \frac{3k}{k \sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \] \[ \cos \alpha = \frac{2k}{k \sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \]

এখন, তৃতীয় অনুপাতের মান নির্ণয় করি:

\[ \frac{-4}{P} = \frac{2}{\cos \alpha} = \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{13}}} = \sqrt{13} \] অর্থাৎ, \[ \frac{-4}{P} = \sqrt{13} \] এখানে, P এর মান নির্ণয় করি: \[ P = \frac{-4}{\sqrt{13}} \] কিন্তু, যেহেতু P এর মানের জন্য ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে, তবে সাধারণত ধনাত্মক মানই বিবেচনা করা হয়। অতএব, P এর মান: \[ P = \frac{4}{\sqrt{13}} \]

উত্তর:

\( \boxed{\frac{4}{\sqrt{13}}} \)