\( nP2 = 42 \) হলে, \( n \) এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

\[ nP2 = 42 \]

অর্থাৎ,

\[ nP2 = \frac{n!}{(n-2)!} \]

এবং,

\[ \frac{n!}{(n-2)!} = 42 \]

এখন, \[ n! \] কে সরল করে দেখা যাক:

\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2)! \]

অতএব,

\[ nP2 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{(n-2)!} = n \times (n-1) \]

অর্থাৎ,

\[ n \times (n-1) = 42 \]

এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করি:

\[ n(n - 1) = 42 \]

বিন্যস্ত করে:

\[ n^2 - n = 42 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:

\[ n^2 - n - 42 = 0 \]

আসুন, এই সমীকরণের সমাধান করি:

মূল সূত্র: \( ax^2 + bx + c = 0 \), সমাধান:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

এখানে, \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=-42 \)

অতএব,

\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-42)}}{2 \times 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{169}}{2} \]

এখানে, \(\sqrt{169} = 13 \)

অতএব, দুইটি সমাধান:

\[ n = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7 \]

এবং

\[ n = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

কিন্তু, নেগেটিভ মানের জন্য বাস্তব সংখ্যায় উপযুক্ত নয়, কারণ সম্ভাব্য ন্যূনতম মান ধনাত্মক।

অতএব, \( n \) এর মান হলো **7**।