Explanation: Hints: \( nC_r = \frac{n!}{r! (n-r)!} \) সূত্রটি দিয়ে \( nP_r \) এ বসাতে হবে। Solve: \( nC_4 = 15 \implies \frac{n!}{4! (n-4)!} = 15 \implies n(n-1)(n-2)(n-3) = 15 \times 4! \)। অতএব, \( nP_5 = ^6P_5 = 6! \)। Ans. (B)
Another Explanation (5): ```html
সমাধান:
দেওয়া আছে, \( nC_4 = 15 \) এবং \( ^{n+1}C_5 = 21 \)। আমাদের \( ^nP_5 \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, \( ^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) এবং \( ^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} \)
প্রথম শর্তানুসারে,
\( ^nC_4 = 15 \)
বা, \( \frac{n!}{4!(n-4)!} = 15 \)
বা, \( \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \)
বা, \( n(n-1)(n-2)(n-3) = 15 \cdot 24 = 360 \)
\( 360 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \)
সুতরাং, \( n = 6 \)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে,
\( ^{n+1}C_5 = 21 \)
বা, \( \frac{(n+1)!}{5!(n+1-5)!} = 21 \)
বা, \( \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!} = 21 \)
বা, \( \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 21 \)
বা, \( (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3) = 21 \cdot 120 = 2520 \)
যদি \( n = 6 \) হয়, তবে
\( (6+1)6(6-1)(6-2)(6-3) = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520 \)
সুতরাং, \( n = 6 \) উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। 🎉
এখন, \( ^nP_5 \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
\( ^nP_5 = \frac{n!}{(n-5)!} \)
\( ^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = \frac{6!}{1!} = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \)
অতএব, \( ^nP_5 = 720 \) 😊
কিন্তু উত্তরে \( 6! \) দেওয়া আছে। যেহেতু \( 6! = 720 \), তাই উত্তরটি সঠিক। 👍
```
