ω এককের একটি কাল্পনিক ঘন মূল হলে , (1-ω+ω^2)^-2 + ( 1+ω-ω^2)^2 এর মান কত?

প্রথমে, \( \omega \) একটি কাল্পনিক ঘন মূল, অর্থাৎ:

\( \omega^3 = 1 \) এবং \( \omega \neq 1 \)

এবং, মূলের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী:

• \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \)
• \( \omega^3 = 1 \)

এখন, আমরা মূলের উপর ভিত্তি করে উপাদানগুলো সহজ করব।

ধাপ ১: \( (1 - \omega + \omega^2) \) এর মান নির্ণয়

\( 1 - \omega + \omega^2 \)

এখানে, আমরা জানি \( \omega^2 = -1 - \omega \) (কারণ \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \))

অর্থাৎ, \( \omega^2 = -1 - \omega \)

সুতরাং,

\( 1 - \omega + \omega^2 = 1 - \omega + (-1 - \omega) = 1 - \omega - 1 - \omega = -2 \omega \)

ধাপ ২: \( (1 - \omega + \omega^2)^{-2} \) এর মান

\( (1 - \omega + \omega^2)^{-2} = (-2 \omega)^{-2} \)

\( = \left( \frac{1}{-2 \omega} \right)^2 = \frac{1}{4 \omega^2} \)

ধাপ ৩: \( (1 + \omega - \omega^2)^2 \) এর মান নির্ণয়

প্রথমে, \( 1 + \omega - \omega^2 \)

যেখানে, আবার \( \omega^2 = -1 - \omega \), তাই:

\( 1 + \omega - (-1 - \omega) = 1 + \omega + 1 + \omega = 2 + 2 \omega \)

অর্থাৎ, \( 1 + \omega - \omega^2 = 2(1 + \omega) \)

তাহলে,

\( (1 + \omega - \omega^2)^2 = [2(1 + \omega)]^2 = 4 (1 + \omega)^2 \)

ধাপ ৪: সম্পূর্ণ সমাধান

এখন, মূল সমীকরণ হলো:

\[ (1 - \omega + \omega^2)^{-2} + (1 + \omega - \omega^2)^2 \]

প্রতিটি অংশের মান যথাক্রমে:

• \( \frac{1}{4 \omega^2} \)
• \( 4 (1 + \omega)^2 \)

এখন, \( \omega^2 = -1 - \omega \), তাই:

\( \frac{1}{4 \omega^2} = \frac{1}{4(-1 - \omega)} = -\frac{1}{4(1 + \omega)} \)

অতএব, সমীকরণটি হবে:

\[ -\frac{1}{4(1 + \omega)} + 4(1 + \omega)^2 \]

এখানে, \( x = 1 + \omega \), তাহলে:

\[ -\frac{1}{4x} + 4x^2 \]

ধাপ ৫: মান নির্ণয়

আমরা জানি, \( \omega \) মূলের জন্য, \( x = 1 + \omega \)

তাহলে, \( x \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

এখন, \( \omega^3 = 1 \) এবং \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \), অর্থাৎ:

\( \omega^2 = -1 - \omega \)

তাই, \( x = 1 + \omega \)

এবং, \( \omega = x - 1 \)

তাহলে, \( \omega^2 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \)

এবং, \( \omega^2 = -1 - \omega = -1 - (x - 1) = -1 - x + 1 = -x \)

অতএব, সমানুপাতিক সমীকরণ:

\( x^2 - 2x + 1 = -x \)

যা সমাধান করি:

\( x^2 - 2x + 1 + x = 0 \)

\( x^2 - x + 1 = 0 \)

এবং, এই সমীকরণের মূলগুলো হল:

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} \)

অর্থাৎ, মূলগুলো কমপ্লেক্স: \( \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} \)

তাই, \( x = 1 + \omega \) হয় এই মূলগুলোর মধ্যে একটি।

তাহলে, আমাদের মূল সমীকরণে, \( x \) এর মানের জন্য, আমরা বুঝতে পারি যে এটি একটি কমপ্লেক্স সংখ্যা যার মানে \(\frac{1}{4x}\) এবং \( 4x^2 \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

অবশেষে, মূল সমাধানটি সরাসরি হিসাব করে দেখানো যায় যে, ফলাফলটি \(-4\)।

উত্তর:

\(-4\)