A ও B দুটি 3 × 3 ক্রমের মেট্রিক্স হলে |A-B| = 0 এর সমার্থক-

প্রশ্ন:

A ও B দুটি 3 × 3 ক্রমের মেট্রিক্স হলে \(|A - B| = 0\) এর সমার্থক?

উত্তর:

আমরা দেখব যে, \(|A - B| = 0\) এর অর্থ কি।

একটি ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট যদি ০ হয়, তবে সেটি একটি singular ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ এর ইনভার্স নেই।

প্রশ্নে দেওয়?? হয়েছে:

\( |A - B| = 0 \)

অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স \(A - B\) এর ডিটারমিন্যান্ট ০।

এখন, ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্টের মান শূন্য হলে, এর একাধিক বা শূন্য শেকড় (eigenvalues) থাকতে পারে।

তবে, যদি \(|A - B| = 0\), তবে অবশ্যই, \(A - B\) এর অন্তত এক শেকড় 0।

অর্থাৎ, \(A - B\) এর রেংক কমে যায়, অর্থাৎ, এটি সিঙ্গুলার।

এখন, যদি \(A\) এবং \(B\) একই হয়, তবে \(A - B = 0\) ম্যাট্রিক্স, যার ডিটারমিন্যান্ট অবশ্যই ০।

অর্থাৎ, এই পরিস্থিতিতে, \(|A - B| = 0\) এর জন্য, অন্ততঃ, \(A = B\)।

অতএব, \(|A - B| = 0\) এর সমার্থক হল:

• \(A = B\)
• অথবা, \(A - B\) এর ডিটারমিন্যান্ট ০ অর্থাৎ, \(|A| = |B|\) হতে পারে না সরাসরি।

তবে, প্রশ্নে দেওয়া উত্তরে বলা হয়েছে:

উত্তর: \(|A| = 0\) এবং \(|B| = 0\)

এটি সত্য নয়, কারণ দুটি ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট আলাদাভাবে শূন্য হতে পারে, কিন্তু তারা একই নয়।

সুতরাং, সঠিক ব্যাখ্যা হলঃ

\(|A - B| = 0\) এর অর্থ হল, \(A - B\) singular ম্যাট্রিক্স, অর্থাৎ, \(A\) এবং \(B\) এর মধ্যে পার্থক্য একটি singular ম্যাট্রিক্স।

যদি \(A = B\), তবে অবশ্যই, \(|A - B| = 0\)।

অতএব, \(|A - B| = 0\) এর সমার্থক হল:

অন্ততঃ, \(A = B\)

সারাংশ:

অতএব, \(|A - B| = 0\) এর সমার্থক হল:

\(A = B\)