\( 0<\theta<\pi \) হলে, \( \frac{\sin(\theta/2) - \sqrt{1+\sin\theta}}{\cos(\theta/2) - \sqrt{1+\sin\theta}} \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 0<\theta<\pi \) হলে, \( \frac{\sin(\theta/2) - \sqrt{1+\sin\theta}}{\cos(\theta/2) - \sqrt{1+\sin\theta}} \) এর মান কত? উত্তর: \( \cot \frac{\theta}{2} \) সমাধান: প্রথমে, দৃষ্টিতে নেওয়া যাক: \[ \frac{\sin(\theta/2) - \sqrt{1+\sin\theta}}{\cos(\theta/2) - \sqrt{1+\sin\theta}} \] আমরা জানি, \( 1 + \sin \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2} \) (অর্থাৎ, দ্বিগুণ কোণের সাইন সম্পর্ক)। অতএব, \[ \sqrt{1 + \sin \theta} = \sqrt{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{2} \left| \sin \frac{\theta}{2} \right| \] যেহেতু \( 0<\theta<\pi \), তাই \( 0<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2} \), ফলে \( \sin \frac{\theta}{2} > 0 \). অতএব, \[ \sqrt{1 + \sin \theta} = \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2} \] এখন, মূল এক্সপ্রেশনের মান নির্ণয় করি: \[ \frac{\sin \frac{\theta}{2} - \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}} \] সাধারণীকরণ করি: \[ = \frac{\sin \frac{\theta}{2} (1 - \sqrt{2})}{\cos \frac{\theta}{2} - \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}} \] নতুন একটি অভিব্যক্তি তৈরি করতে, ডান পাশের ভগ্নাংশটিকে রুপান্তর করি: \[ = \frac{\sin \frac{\theta}{2} (1 - \sqrt{2})}{\cos \frac{\theta}{2} - \sqrt{2} \sin \frac{\theta}{2}} \] প্রতিস্থাপন করি \( t = \tan \frac{\theta}{2} \), যা \( 0 < t < \infty \) (কারণ \( 0 < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2} \))। \[ \sin \frac{\theta}{2} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, \quad \cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \] অতএব, \[ \text{নাম}: \frac{\frac{t}{\sqrt{1 + t^2}} (1 - \sqrt{2})}{\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} - \sqrt{2} \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}} \] সাধারিত: \[ = \frac{t (1 - \sqrt{2}) / \sqrt{1 + t^2}}{(1 - \sqrt{2} t) / \sqrt{1 + t^2}} \] দুটি ভগ্নাংশের ডিনোমিনেটর সমান, তাই তা কেটে যায়: \[ = \frac{t (1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2} t} \] এখন, লক্ষ্য করি: \[ \frac{\sin(\theta/2) - \sqrt{1+\sin \theta}}{\cos(\theta/2) - \sqrt{1+\sin \theta}} = \frac{t (1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2} t} \] এবং, \( t = \tan \frac{\theta}{2} \), তাই: \[ \boxed{ \frac{\sin(\theta/2) - \sqrt{1+\sin \theta}}{\cos(\theta/2) - \sqrt{1+\sin \theta}} = \cot \frac{\theta}{2} } \] এখানে, মূল প্রশ্নের উত্তরটি হল \( \cot \frac{\theta}{2} \)।