cos²0° + cos² 10° + cos²20° +......+ cos² 90° = কত?
উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বর্গের সমষ্টি নির্ণয় (Topic Practice)
সঠিক উত্তরঃ
D.
5
Another Explanation (5):
প্রশ্ন:
প্রশ্নটি হলো: \(\cos^2 0^\circ + \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \ldots + \cos^2 90^\circ\) এর মান কত?
উত্তর:
উত্তর: 5
সমাধান:
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এখানে কোসাইন ফাংশনের মান ১১টি কোণের জন্য যোগফল নির্ণয় করতে হবে: 0°, 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, 90°।
প্রথমে, কোসাইন স্কোয়ারের কিছু গুরুত্বপূর্ণ মান জানা প্রয়োজন:
- \(\cos 0^\circ = 1 \Rightarrow \cos^2 0^\circ = 1\)
- \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \cos^2 30^\circ = \frac{3}{4}\)
- \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}\)
- \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 60^\circ = \frac{1}{4}\)
- \(\cos 90^\circ = 0 \Rightarrow \cos^2 90^\circ = 0\)
কিন্তু অন্যান্য কোণের জন্য মান জানা সহজ নয়, তাই আমরা ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণ ও সমান্তরাল ফাংশনের ব্যবহার করে সমাধান করব।
সমাধান:
আমরা জানি যে,
\[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] অতএব, \[ \sum_{k=0}^{9} \cos^2 (10^\circ \times k) = \sum_{k=0}^{9} \frac{1 + \cos (20^\circ \times k)}{2} \] এটি বিভাজিত হয়: \[ = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) \] প্রথম অংশ: \[ \frac{1}{2} \times 10 = 5 \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) \] এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) \] এটি একটি সমষ্টি যা একটি আর্থমেটিক ফ্যামিলি সমষ্টি, যার জন্য সূত্র হলো: \[ \sum_{k=0}^{n-1} \cos (a + d k) = \frac{\sin \left( \frac{n d}{2} \right)}{\sin \left( \frac{d}{2} \right)} \cos \left( a + \frac{(n-1)d}{2} \right) \] এখানে: \[ a = 0^\circ, \quad d = 20^\circ, \quad n = 10 \] তাহলে, \[ \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = \frac{\sin \left( \frac{10 \times 20^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{20^\circ}{2} \right)} \cos \left( 0^\circ + \frac{(10-1) \times 20^\circ}{2} \right) \] গণনা করি: \[ = \frac{\sin (100^\circ)}{\sin (10^\circ)} \times \cos (0^\circ + 90^\circ) \] এবং, \[ \cos 90^\circ = 0 \] অতএব, \[ \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = \frac{\sin (100^\circ)}{\sin (10^\circ)} \times 0 = 0 \] সুতরাং, \[ \sum_{k=0}^{9} \cos^2 (10^\circ \times k) = \frac{1}{2} \times 10 + \frac{1}{2} \times 0 = 5 \] **অর্থাৎ,** \[ \boxed{ \cos^2 0^\circ + \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \ldots + \cos^2 90^\circ = 5 } \]