$Sin$ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta = m\cos \theta $ এবং Sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta = n\cos \theta $ হলে $m^2$-n$^2$\) এর মান কত?

Question

Accepted Answer

সঠিক উত্তর: $4\sqrt{mn}$। ব্যাখ্যা: Hints: এখানে $m$ ও $n$ কে একপাশে রেখে Equation দুটিকে সরল করে তারপর $m^2 - n^2$ এর মান বের করতে হবে।  
Solve: $\sin\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta = m\cos\theta$  
$\implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{2}\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta} = m \, [\cos\theta \, দ্বারা \, ভাগ \, করে]$  
$\implies \tan\theta + \sin\theta = m \, \dots (i)$  
এবং $\sin\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta = n\cos\theta \implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \frac{1}{2}\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta} = n $  
$\implies \tan\theta - \sin\theta = n \, \dots (ii)$  
এখন, $(i)^2 - (ii)^2 = m^2 - n^2$  
$$
= (\tan\theta + \sin\theta)^2 - (\tan\theta - \sin\theta)^2 = 4 \tan\theta\sin\theta 
$$  
$$
= 4\sqrt{\tan^2\theta(1 - \cos^2\theta)} = 4\sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta} 
$$  
$$
= 4\sqrt{(\tan\theta + \sin\theta)(\tan\theta - \sin\theta)} = 4\sqrt{mn}
$$  
Ans. (B)  
ব্যাখ্যা: প্রশ্নে শুধুমাত্র $m^2 - n^2$ এর মান বের করতে বলা হয়েছে, সেহেতু প্রশ্নের সমীকরণ দুটা থেকে প্রথমে $m$ আর $n$ কে Free করে নেওয়া হয়েছে।  
$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ এবং $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ সূত্রদ্বয় ছাড়া আর তেমন কোনো ত্রিকোণমিতিক সূত্রের প্রয়োজন পড়েনি।  
By Calculator: প্রথম সমীকরণগুলিকে এভাবে চেষ্টা করা:  
$$
m = \frac{\sin\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta}{\cos\theta} \, এবং \, n = \frac{\sin\theta - \frac{1}{2}\sin2\theta}{\cos\theta}
$$  
এখন $\theta$ এর পছন্দমতো যে কোনো মানের জন্য ক্যালকুলেটরের মাধ্যমে $m$ ও $n$ এর মান বের করে তারপর $m^2 - n^2$ এর মান Option এর সাথে মিলাও।

\(Sin\( \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta = m\cos \theta \) এবং Sin \theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta = n\cos \theta \) হলে \(m^2\)-n\(^2\)\) এর মান কত?