একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বল P এবং 2P। তাদের লম্বি R, P বলের উপর লম্ব হলে তাদের অন্তর্গত কোণ কত?

দেওয়া হয়েছে, দুটি বল: একটি বল \( \vec{P} \) এবং অন্যটি \( 2\vec{P} \)। তাদের লম্বি \( \vec{R} \) যা বল \( \vec{P} \)-এর উপর লম্ব।

আমাদের লক্ষ্য হল, এই তিনটির মধ্যে কোণ নির্ণয় করা।

চিত্রনির্দেশনা অনুযায়ী, বল \( \vec{R} \) বল \( \vec{P} \)-এর উপর লম্ব, অর্থাৎ:

\[ \vec{R} \cdot \vec{P} = 0 \]

ধরা যাক, বল \( \vec{R} \) এর দিক হলো, বল \( \vec{P} \) এর সাথে কোণের মান \( \theta \), অর্থাৎ:

\[ \vec{R} = k \left( \cos \theta \, \hat{i} + \sin \theta \, \hat{j} \right) \] (এখানে, \(\hat{i}\) এবং \(\hat{j}\) স্ট্যান্ডার্ড ইউনিট ভেক্টর)

তাহলে, বল \( \vec{P} \) এর দিক হলো, ধরা যাক,:

\[ \vec{P} = P \hat{i} \]

এখন, বল \( \vec{R} \) এর সাথে বল \( \vec{P} \) এর ডট প্রোডাক্ট হলো:

\[ \vec{R} \cdot \vec{P} = (k \cos \theta)(P) + (k \sin \theta)(0) = k P \cos \theta \]

প্রশ্নে বলা হয়েছে, \( \vec{R} \) বল \( \vec{P} \)-এর উপর লম্ব। সুতরাং,:

\[ \vec{R} \cdot \vec{P} = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ k P \cos \theta = 0 \] এখানে, \(k \neq 0\) এবং \(P \neq 0\), সুতরাং:

\[ \cos \theta = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ \theta = 90^\circ \]

এখন, বল \( 2\vec{P} \) এর সাথে কোণ নির্ণয় করতে হবে।

ধরা যাক, বল \( 2\vec{P} \) এর দিক হলো,:

\[ 2\vec{P} = 2 P \hat{i} \]

বিশ্লেষণে, বল \( \vec{R} \) এর দিকের সাথে \( 2\vec{P} \) এর কোণ হবে, বল \( \vec{R} \) এর দিকের সাথে \( \vec{P} \)-এর কোণের সমান, কারণ:

\[ \cos \phi = \frac{\vec{R} \cdot 2\vec{P}}{|\vec{R}| |\2\vec{P}|} \]

এখানে,

\[ \vec{R} \cdot 2\vec{P} = 2 P k \cos \theta \] অর্থাৎ,

\[ \cos \phi = \frac{2 P k \cos \theta}{| \vec{R} | \times 2 P} = \frac{k \cos \theta}{| \vec{R} |} \]

উল্লেখ্য, \( |\vec{R}| = k \), তাই,

\[ \cos \phi = \frac{k \cos \theta}{k} = \cos \theta \]

এখন, আমরা জানি, \( \theta = 90^\circ \), অতএব,

\[ \cos \theta = 0 \]

অর্থাৎ,

\[ \cos \phi = 0 \] এবং,

\[ \phi = 90^\circ \]

তাই, বল \( 2\vec{P} \) এর সাথে এর কোণ হল \( 90^\circ \)।

কিন্তু, প্রশ্নে বল হয়েছে, দুইটি বলের মধ্যে অন্তর্গত কোণ কত, যেখানে বল \( \vec{P} \) এবং \( 2\vec{P} \)।

তাদের মধ্যে কোণ নির্ণয়ের জন্য, তাদের ভেক্টরগুলোর মধ্যে কোণ \( \alpha \) এর জন্য,

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{P} \cdot 2\vec{P}}{|\vec{P}| |\2\vec{P}|} = \frac{2 P^2}{P \times 2 P} = 1 \]

এখানে, মনে রাখতে হবে, বলের ভেক্টরগুলো এক্সপ্লিসিট নয়, বরং বলের দিক বোঝানো হয়েছে।

অতএব, বল \( \vec{P} \) ও \( 2\vec{P} \) এর মধ্যে কোণ নির্ণয় করতে হলে, বলের ভেক্টরগুলোর মধ্যে কোণের মান হবে,

\[ \theta_{total} = 180^\circ - (\text{তাদের মধ্যে কোণ}) \] এখানে, তাদের ভেক্টরগুলো একই দিকের, তাই কোণ হবে শূন্য। তবে, প্রশ্নটির মূল উদ্দেশ্য হলো, বলগুলো কিভাবে অবস্থান করছে তা বোঝা।

অন্তর্গত কোণ বলতে বোঝানো হয়েছে, বলের দিকের মধ্যে কোণ।

তাদের মধ্যে কোণ হল, \( 120^\circ \)।

সুতরাং, উত্তর হলো: 120°