নিম্নর নির্ণায়কের (-2a) এর সহগুণক কত? |(1+a^2-b^2,2ab,-2b),(2ab,1-a^2+b^2,2a),(2b,-2a,1-a^2-b^2)|
RUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কঅনুরাশি ও সহগুণক (Topic Practice)RUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
E.
2a(1+a^2+b^2)
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
নির্ণায়কটি হলো:
\[
\begin{vmatrix}
1+a^2-b^2 & 2ab & -2b \\
2ab & 1-a^2+b^2 & 2a \\
2b & -2a & 1-a^2-b^2
\end{vmatrix}
\]
(-2a) এর সহগুণক নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, (-2a) এর অবস্থান নির্ণয় করি। এটি নির্ণায়কের তৃতীয় সারি এবং দ্বিতীয় কলামে অবস্থিত।
সহগুণক নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে অনুরাশি (minor) নির্ণয় করতে হবে। (-2a) এর অনুরাশি হলো (-2a) এর সারি ও কলাম বাদ দিয়ে গঠিত নির্ণায়ক:
\[
M_{32} = \begin{vmatrix}
1+a^2-b^2 & -2b \\
2ab & 2a
\end{vmatrix}
\]
এখন, এই 2x2 নির্ণায়কের মান বের করি:
\[
M_{32} = (1+a^2-b^2)(2a) - (2ab)(-2b) \\
= 2a + 2a^3 - 2ab^2 + 4ab^2 \\
= 2a + 2a^3 + 2ab^2 \\
= 2a(1+a^2+b^2)
\]
সহগুণক (cofactor) \(C_{ij}\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). এখানে i=3 এবং j=2.
সুতরাং, সহগুণকটি হবে:
\[
C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} \\
= (-1)^5 \times 2a(1+a^2+b^2) \\
= -2a(1+a^2+b^2)
\]
অতএব, (-2a) এর সহগুণক হলো: \(-2a(1+a^2+b^2)\). 🤔
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি হলো \(2a(1+a^2+b^2)\). 🤔 পুনরায় যাচাই করা যাক!
আমরা মাইনর \(M_{32}\) সঠিকভাবে বের করেছি। সহগুণকের চিহ্ন (\((-1)^{i+j}\)) ও ঠিক আছে।
সম্ভবত, প্রশ্নপত্রে অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 🤔 আমার গণনা অনুযায়ী, উত্তর \(-2a(1+a^2+b^2)\) হওয়া উচিত। 😊
```
সঠিক উত্তরঃ
E.
2a(1+a^2+b^2)
Explanation:
Another Explanation (5): ```html
নির্ণায়কটি হলো:
\[
\begin{vmatrix}
1+a^2-b^2 & 2ab & -2b \\
2ab & 1-a^2+b^2 & 2a \\
2b & -2a & 1-a^2-b^2
\end{vmatrix}
\]
(-2a) এর সহগুণক নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, (-2a) এর অবস্থান নির্ণয় করি। এটি নির্ণায়কের তৃতীয় সারি এবং দ্বিতীয় কলামে অবস্থিত।
সহগুণক নির্ণয়ের জন্য, প্রথমে অনুরাশি (minor) নির্ণয় করতে হবে। (-2a) এর অনুরাশি হলো (-2a) এর সারি ও কলাম বাদ দিয়ে গঠিত নির্ণায়ক:
\[
M_{32} = \begin{vmatrix}
1+a^2-b^2 & -2b \\
2ab & 2a
\end{vmatrix}
\]
এখন, এই 2x2 নির্ণায়কের মান বের করি:
\[
M_{32} = (1+a^2-b^2)(2a) - (2ab)(-2b) \\
= 2a + 2a^3 - 2ab^2 + 4ab^2 \\
= 2a + 2a^3 + 2ab^2 \\
= 2a(1+a^2+b^2)
\]
সহগুণক (cofactor) \(C_{ij}\) নির্ণয়ের সূত্র হলো: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). এখানে i=3 এবং j=2.
সুতরাং, সহগুণকটি হবে:
\[
C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} \\
= (-1)^5 \times 2a(1+a^2+b^2) \\
= -2a(1+a^2+b^2)
\]
অতএব, (-2a) এর সহগুণক হলো: \(-2a(1+a^2+b^2)\). 🤔
কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি হলো \(2a(1+a^2+b^2)\). 🤔 পুনরায় যাচাই করা যাক!
আমরা মাইনর \(M_{32}\) সঠিকভাবে বের করেছি। সহগুণকের চিহ্ন (\((-1)^{i+j}\)) ও ঠিক আছে।
সম্ভবত, প্রশ্নপত্রে অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। 🤔 আমার গণনা অনুযায়ী, উত্তর \(-2a(1+a^2+b^2)\) হওয়া উচিত। 😊
```