|(2,3,5),(5,0,1),(2,0,4)| নির্ণায়কটির (1, 2) তম ভুক্তির সহগুণক কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 5 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{bmatrix} \] আমাদের লক্ষ্য হলো এই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক (determinant) এর (1, 2) তম ভুক্তির সহগুণক নির্ণয় করা। অর্থাৎ, আমরা বুঝি যে এটি কেমন করে নির্ণায়কের সহগুণক নির্ণয় করতে হয়।

প্রথমে, নির্ণায়ক \( |A| \) নির্ণয় করি: \[ |A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 5 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} \]
```
|A| = 2 * \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}
- 3 * \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}
+ 5 * \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}
```
```
|A| = 2 * (0*4 - 1*0) - 3 * (5*4 - 1*2) + 5 * (5*0 - 0*2)
```
```
|A| = 2 * (0 - 0) - 3 * (20 - 2) + 5 * (0 - 0)
```
```
|A| = 2 * 0 - 3 * 18 + 0 = -54
```
অতএব, নির্ণায়ক \( |A| = -54 \)।
1. প্রতিটি ভুক্তির সহগুণক (cofactor) নির্ণয় করতে হলে, প্রতিটি উপাদানের জন্য মিনর (minor) গণনা করতে হবে।
2. এক্ষেত্রে, আমাদের লক্ষ্য হলো (1, 2) ভুক্তির সহগুণক, অর্থাৎ প্রথম সারির দ্বিতীয় উপাদানটির সহগুণক।
```
C_{1,2} = (-1)^{1+2} * M_{1,2}
```
এখানে,
```
M_{1,2} = \begin{vmatrix}
5 & 1 \\
2 & 4
\end{vmatrix}
```
```
M_{1,2} = (5)(4) - (1)(2) = 20 - 2 = 18
```
অতএব,
```
C_{1,2} = (-1)^{3} * 18 = -1 * 18 = -18
```
**উত্তর: \(\boxed{-18}\)**