x ε ℝ হলে, 4x² - 2x + 3 এর ন্যুনতম মান কত ?

সমাধান:

প্রশ্ন অনুসারে, আমাদের দেইনামিক ফাংশন:

\[f(x) = 4x^2 - 2x + 3\]

এখন, এই পারাবলিক ফাংশনের ন্যুনতম মান নির্ণয় করতে হলে, আমরা এর ডেরিভেটিভ নিয়ে সেটি শূন্যে সমাধান করব।

ধাপ ১: ডেরিভেটিভ নির্ণয়

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 - 2x + 3) = 8x - 2\]

ধাপ ২: ডেরিভেটিভ শূন্যে সমাধান

\[8x - 2 = 0\]

\[8x = 2\]

\[x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]

ধাপ ৩: ন্যুনতম মান নির্ণয়

এখন, এই মানে ফাংশনের মান নির্ণয় করতে, \(x = \frac{1}{4}\) বসিয়ে দেই:

\[f\left(\frac{1}{4}\right) = 4\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \times \frac{1}{4} + 3\]

\[= 4 \times \frac{1}{16} - \frac{2}{4} + 3\]

\[= \frac{4}{16} - \frac{1}{2} + 3\]

\[= \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 3\]

এখন, সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে সমাধান করি:

\[\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{1 - 2 + 12}{4} = \frac{11}{4}\]

উপসংহার:

অতএব, ফাংশনের ন্যুনতম মান হল \(\frac{11}{4}\).