x এর কোন মানের জন্য x (12 - 2x)² এর মান সর্বোচ্চ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা দিচ্ছি: \[ x(12 - 2x)^2 \] এর মান সর্বোচ্চ করতে।

ধাপ ১: ফাংশন নির্ণয়

ফাংশন: \[ f(x) = x(12 - 2x)^2 \]

ধাপ ২: এক্সপ্রেশনকে সরলীকরণ

\[ f(x) = x (12 - 2x)^2 \] \[ = x (144 - 48x + 4x^2) \] \[ = 144x - 48x^2 + 4x^3 \]

ধাপ ৩: ডেরিভেটিভ নির্ণয়

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (144x - 48x^2 + 4x^3) = 144 - 96x + 12x^2 \]

ধাপ ৪: শূন্যবিন্দু নির্ণয় (Critical Points)

\[ f'(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 96x + 144 = 0 \] দ্বিগুণ ভাগ করে: \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] অথবা, \[ x^2 - 8x + 12 = 0 \] অর্থাৎ, \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \times 1 \times 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm 4}{2} \] অর্থাৎ, \[ x = \frac{8 + 4}{2} = 6 \quad \text{বা} \quad x = \frac{8 - 4}{2} = 2 \]

ধাপ ৫: ফাংশনের মান নির্ণয়

প্রতিটি critical point এ মান: \[ f(2) = 2 (12 - 2 \times 2)^2 = 2 (12 - 4)^2 = 2 \times 8^2 = 2 \times 64 = 128 \] \[ f(6) = 6 (12 - 2 \times 6)^2 = 6 (12 - 12)^2 = 6 \times 0 = 0 \]

ধাপ ৬: সীমা নির্ণয় এবং সর্বোচ্চ মান

প্রাকৃতিক সীমান্তে \(x\) মানের জন্য \(f(x)\) এর মান যাচাই করতে হবে। তবে, কারণ \(f(x)\) একটি পলিনোম, এবং এর ডেরিভেটিভ শূন্য বিন্দুতে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হয়। এখানে, \(f(2) = 128\) এবং \(f(6) = 0\), যেখানে \(128\) সবচেয়ে বড় মান।

উপসংহার:

অতএব, \(f(x)\) এর মান সর্বোচ্চ হয় যখন \(x=2\)।

উত্তর:

সুতরাং, \(x=2\) এর জন্য \(f(x)\) এর মান সর্বোচ্চ।

প্রশ্ন অনুযায়ী উত্তর:

উত্তর: 4