y= 5+3x-x^2এর সর্বোচ্চ মান হবে?

প্রশ্ন: \( y = 5 + 3x - x^2 \) এর সর্বোচ্চ মান কত?

উত্তর: \( \frac{29}{4} \)

সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশনটি একটি কল্পনাবিহীন উত্থানকারী গরিষ্ঠ মান সহ একটি কোঅফেক্টা (quadratic function):

\[ y = -x^2 + 3x + 5 \]

এখানে, সাধারণ ফর্ম হলো:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

এখানে, \( a = -1 \), \( b = 3 \), এবং \( c = 5 \)

একটি কোঅফেক্টার জন্য সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করতে, আমরা its vertex এর x-মান নির্ণয় করি:

\[ x_{vertex} = -\frac{b}{2a} \]

অতএব,

\[ x_{vertex} = -\frac{3}{2 \times (-1)} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2} \]

সর্বোচ্চ মান নির্ণয়:

এখন, এই x-মানটি ফাংশনে বসিয়ে y এর মান বের করি:

\[ y_{max} = 5 + 3 \times \frac{3}{2} - \left( \frac{3}{2} \right)^2 \]

গণনা:

\[ y_{max} = 5 + \frac{9}{2} - \frac{9}{4} \]

সমান করে আনা:

\[ y_{max} = \frac{20}{4} + \frac{18}{4} - \frac{9}{4} = \frac{20 + 18 - 9}{4} = \frac{29}{4} \]

অতএব, ফাংশনের সর্বোচ্চ মান হলো: \( \frac{29}{4} \)