\( f(x) = 5+3x-x^2 \) ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান কত?

Another Explanation (5):

প্রদত্ত ফাংশন: \(f(x) = 5 + 3x - x^2\)

এটি একটি মানের পর্বতাকার (quadratic) ফাংশন, যার সাধারণ রূপঃ \(f(x) = ax^2 + bx + c\), যেখানে \(a = -1\), \(b = 3\), এবং \(c = 5\)।

যেহেতু \(a = -1 < 0\), তাই এটি একটি নিম্নগামী পর্বতাকার, যার সর্বোচ্চ মান থাকবে।

একটি পর্বতাকার ফাংশনের শীর্ষ বিন্দু বা সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করতে, আমরা শীর্ষ বিন্দুর \(x\) মান নির্ণয় করব:

\(x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \times (-1)} = \frac{3}{2}\)

এখন, এই \(x_{max}\) মানটি মূল ফাংশনে প্রতিস্থাপন করব:

\(f\left(\frac{3}{2}\right) = 5 + 3 \times \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2\)

গণনা করি:

\(f\left(\frac{3}{2}\right) = 5 + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}\)

সমস্ত ভগ্নাংশের সাধারণ মূলধন নেওয়া যাক:

\(f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{20}{4} + \frac{18}{4} - \frac{9}{4} = \frac{20 + 18 - 9}{4} = \frac{29}{4}\)

অতএব, এই ফাংশনের সর্বোচ্চ মান হল \(\boxed{\frac{29}{4}}\)।