\( y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 4 \) এর সর্বোচ্চ মান কোনটি?

সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশন:

\( y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 4 \)

ধাপ ১: প্রথম ডেরিভেটিভ নেওয়া:

\( y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} + x^2 - 8x + 4 \right) \)

\( y' = x^2 + 2x - 8 \)

ধাপ ২: সমীকরণ শূন্যে সেট করা (সাধারণত সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য):

\( y' = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 8 = 0 \)

ধাপ ৩: সমাধান:

\( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

সমাধান করতে:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)

এখানে, \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -8 \)

সুতরাং:
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 1 \times (-8)}}{2} \)
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \)

\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} \)

\( x = \frac{-2 \pm 6}{2} \)

অতএব, দুইটি মান:
\[
x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2
\]
\[
x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4
\]


ধাপ ৪: দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন নির্ণয়ে):
\( y'' = \frac{d}{dx} (x^2 + 2x - 8) = 2x + 2 \)

অতএব:
- যখন \( x = 2 \), 
\( y'' = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 > 0 \), অর্থাৎ এটি একটি স্থানীয় ন্যূনতম।
- যখন \( x = -4 \),
\( y'' = 2(-4) + 2 = -8 + 2 = -6 < 0 \), অর্থাৎ এটি একটি স্থানীয় সর্বোচ্চ মানের জন্য।

অতএব, সর্বোচ্চ মান \( x = -4 \) এ ঘটে।

ধাপ ৫: সর্বোচ্চ মানের জন্য \( y \) মান নির্ণয়:
\( y(-4) = \frac{(-4)^3}{3} + (-4)^2 - 8(-4) + 4 \)

গাণিতিক হিসাব:
\( y(-4) = \frac{-64}{3} + 16 + 32 + 4 \)

সরাসরি যোগ:
\( y(-4) = \frac{-64}{3} + (16 + 32 + 4) \)
\( y(-4) = \frac{-64}{3} + 52 \)

52 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে:
\( 52 = \frac{156}{3} \)

অতএব:
\( y(-4) = \frac{-64}{3} + \frac{156}{3} = \frac{92}{3} \)

অতএব, সর্বোচ্চ মান:
\( \boxed{\frac{92}{3}} \)