\( x \) এর মান বাস্তব হলে, \( -4x^2+ 4ax + b^2 \) এর সর্বোচ্চ মান কত?

Another Explanation (5):

দেওয়া প্রশ্ন: যদি \( x \) একটি বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে আমাদের লক্ষ্য হলো প্রকাশ্য বহুপদী \( -4x^2 + 4ax + b^2 \) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করা।

প্রথমে, দেওয়া বহুপদীটি হলো:

\[ f(x) = -4x^2 + 4ax + b^2 \]

এটি একটি দ্বিঘাত (quadratic) সমীকরণ, যেখানে:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \] উপযুক্ত নয়, কারণ আমাদের বহুপদীটি নিম্নবর্গের জন্য নেতিবাচক কোয়েফিশিয়েন্ট (\(-4\))।

যেহেতু \( a = -4 \), তাহলে অঙ্কন অনুযায়ী, এই বহুপদীটি একটি নিম্নগামী পর্বতাকার। এর সর্বোচ্চ মান পাওয়ার জন্য, আমরা এর শীর্ষ বিন্দুটি নির্ণয় করব।

একটি দ্বিঘাতের শীর্ষ বিন্দুর \( x \)-মান হয়:

\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]

এখানে, \( a = -4 \) এবং \( b = 4a \) (আসলে, এখানে \( b \) হচ্ছে বহুপদীর মধ্যবর্তী টার্মের পরিবর্তে, \( 4a \) কোঅফিশিয়েন্ট), তাই:

\[ x_{max} = -\frac{4a}{2 \times (-4)} = -\frac{4a}{-8} = \frac{a}{2} \]

এখন, এই \( x \)-মান দিয়ে \( f(x) \) এর মান নির্ণয় করি:

\[ f\left(\frac{a}{2}\right) = -4 \left(\frac{a}{2}\right)^2 + 4a \left(\frac{a}{2}\right) + b^2 \]

সরলীকরণ করি:

\[ f\left(\frac{a}{2}\right) = -4 \times \frac{a^2}{4} + 4a \times \frac{a}{2} + b^2 \] \[ = -a^2 + 2a^2 + b^2 \] \[ = ( -a^2 + 2a^2 ) + b^2 \] \[ = a^2 + b^2 \]

অতএব, এই প্রকাশ্য বহুপদীর সর্বোচ্চ মান হল:

\[ \boxed{a^2 + b^2} \]