cosA = 1/2, sinB= 1/√2 হলে তবে, sin(A + B) sin(A - B) = কত?

প্রশ্ন:

cosA = 1/2, sinB = 1/√2 হলে, তাহলে, সাইন (A + B) ও সাইন (A - B) এর গুণফল কত?

উত্তর:

প্রথমে, আমাদের দেওয়া মানগুলি ব্যবহার করে A ও B এর সাইন ও কোসাইন মান নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: A এর জন্য

cosA = 1/2

তাহলে, A এর জন্য

\( \cos A = \frac{1}{2} \)

সাধারণত, \(\cos A = \frac{1}{2}\) এর জন্য A এর মান হতে পারে:

\( A = 60^\circ \) বা \( A = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \)

আমরা সাধারণত প্রথম কোণের জন্য বিবেচনা করব, অর্থাৎ:

\( A = 60^\circ \)

এখন, \(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

ধাপ ২: B এর জন্য

sinB = 1/√2

এখানে, \(\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

এটি সাধারণত 45° এর জন্য সত্য, অর্থাৎ:

\( B = 45^\circ \)

এবং, \(\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

ধাপ ৩: \(\sin(A + B)\) ও \(\sin(A - B)\) নির্ণয়

সাইন এর যোগ সূত্র:

\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

সাইন এর বিয়োগ সূত্র:

\( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)

ধাপ ৪: মান বসানো

\( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \cos A = \frac{1}{2} \)

\( \sin B = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

\( \cos B = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

ধাপ ৫: হিসাব করা

\( \sin(A + B) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \)

কমন টার্ম \(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\) এর বাইরে নেওয়া যায়:

\( \sin(A + B) = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\sqrt{3} + 1) \)

একইভাবে,

\( \sin(A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2 \sqrt{2}} \)

\( = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (\sqrt{3} - 1) \)

ধাপ ৬: গুণফল নির্ণয়

\( \sin(A + B) \times \sin(A - B) = \left[\frac{1}{2 \sqrt{2}} (\sqrt{3} + 1)\right] \times \left[\frac{1}{2 \sqrt{2}} (\sqrt{3} - 1)\right] \)

বহুগুণের মান:

\( = \frac{1}{4 \times 2} (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) \)

কারণ, \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\), তাই:

\( = \frac{1}{8} \left( (\sqrt{3})^2 - 1^2 \right) \)

\( = \frac{1}{8} (3 - 1) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

উত্তর:

\(\boxed{\frac{1}{4}}\)