A=[(2,3,4),(4,6,8),(3,1,2)] একটি—

1. বর্গ ম্যাট্রিক্স 
2. ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স 
3. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স 

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 3 & 1 & 2 \end{bmatrix} একটি—

1. বর্গ ম্যাট্রিক্স
2. ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
3. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স

নিচের কোনটি সঠিক?

উত্তর: "i ও ii"

সমাধান:

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্সটি বর্গ ম্যাট্রিক্স কি না যাচাই করা

একটি ম্যাট্রিক্স বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হবে, অর্থাৎ এতে সারি ও কলামের সংখ্যা সমান।

এখানে, A এর আকার: 3 x 3।

সুতরাং, এটি বর্গ ম্যাট্রিক্স।

ধাপ ২: ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী (Singular) কি না যাচাই করা

ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের জন্য এর ডিটারমিনেন্ট শূন্য হতে হবে।

ডিটারমিনেন্ট হিসাব করি:

|A| = 
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4 \\
4 & 6 & 8 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{vmatrix}

|A| = 2 \times \begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}
- 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}
+ 4 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}

প্রতিটি 2x2 মনোমাত্রিক ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:

\begin{aligned}
\begin{vmatrix} 6 & 8 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} &= (6)(2) - (8)(1) = 12 - 8 = 4 \\
\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} &= (4)(2) - (8)(3) = 8 - 24 = -16 \\
\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} &= (4)(1) - (6)(3) = 4 - 18 = -14 \\
\end{aligned}

এখন, মূল ডিটারমিনেন্ট:

|A| &= 2 \times 4 - 3 \times (-16) + 4 \times (-14) \\
&= 8 + 48 - 56 \\
&= 0

প্রাপ্ত ডিটারমিনেন্ট **0**, অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী।

ধাপ ৩: ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম কি না যাচাই করা

প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে, এটি তার ট্রান্সপোজের সাথে সমান। অর্থাৎ,

A = A^{T}

অথবা, প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের জন্য যেকোনো i, j এর জন্য:

a_{ij} = a_{ji}

চলুন, ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলো যাচাই করি:

A = \begin{bmatrix}
2 & 3 & 4 \\
4 & 6 & 8 \\
3 & 1 & 2 \\
\end{bmatrix}

অথবা, এর ট্রান্সপোজ:

A^{T} = \begin{bmatrix}
2 & 4 & 3 \\
3 & 6 & 1 \\
4 & 8 & 2 \\
\end{bmatrix}

তাই, দেখা যাচ্ছে: - a_{12} = 3, কিন্তু a_{21} = 4 (সমান নয়) - a_{13} = 4, কিন্তু a_{31} = 3 (সমান নয়) - a_{23} = 8, কিন্তু a_{32} = 1 (সমান নয়) অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম নয়।

উপসংহার:

ম্যাট্রিক্সটি বর্গ এবং ব্যতিক্রমী। তাই, সঠিক উত্তর হল: i ও ii