[(2,-1,3),(-1,4,5),(3,5,1)] ম্যাট্রিক্সটি—

1. বর্গ ম্যাট্রিক্স
2. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
3. অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

আমরা প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি হলো:

A = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
-1 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 1
\end{bmatrix}

ধাপ ১: ম্যাট্রিক্সের ট্রেস এবং ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়

ট্রেস (Trace):

\text{tr}(A) = 2 + 4 + 1 = 7

ধাপ ২: ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট নির্ণয়

\det(A) = 
\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
-1 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 1
\end{vmatrix}

\det(A) = 2 \times
\begin{vmatrix}
4 & 5 \\
5 & 1
\end{vmatrix}
- (-1) \times
\begin{vmatrix}
-1 & 5 \\
3 & 1
\end{vmatrix}
+ 3 \times
\begin{vmatrix}
-1 & 4 \\
3 & 5
\end{vmatrix}

= 2 \times (4 \times 1 - 5 \times 5) + 1 \times (-1 \times 1 - 5 \times 3) + 3 \times (-1 \times 5 - 4 \times 3)

= 2 \times (4 - 25) + 1 \times (-1 - 15) + 3 \times (-5 - 12)

= 2 \times (-21) + 1 \times (-16) + 3 \times (-17)

= -42 - 16 - 51 = -109

ধাপ ৩: ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ ও প্রতিসম ম্যাট্রিক্স

A^T = \begin{bmatrix}
2 & -1 & 3 \\
-1 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 1
\end{bmatrix}

এখানে দেখা যাচ্ছে, মূল ম্যাট্রিক্স ও এর ট্রান্সপোস্ট একে অপরের সমান। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম।

ধাপ ৪: ম্যাট্রিক্সের বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য পরীক্ষা

বর্গ ম্যাট্রিক্স এর জন্য, মূল ম্যাট্রিক্সের অর্ডার (আকার) চেক করে দেখা হয়। এখানে ৩x৩ ম্যাট্রিক্স, তাই এটি স্বাভাবিকভাবে বর্গ ম্যাট্রিক্স।

ধাপ ৫: ম্যাট্রিক্সের ব্যতিক্রমী বা নয়

একটি ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী (অ্যাবসেন্ট) হলে, তার ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হতে হবে। এখানে ডিটারমিন্যান্ট -109, অর্থাৎ শূন্য নয়। তাই, এটি ব্যতিক্রমী নয়।

উপসংহার

অতএব:

• ম্যাট্রিক্সটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (কারণ আকার ৩x৩)
• প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (কারণ এটি স্বয়ং এর ট্রান্সপোজ)
• অব্যতিক্রমী নয় (কারণ ডিটারমিন্যান্ট শূন্য নয়)

অর্থাৎ, উপযুক্ত উত্তর হবে: i, ii ও iii