ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( P(1, 2, -1) \), \( Q(-2, 1, 1) \) এবং \( R(3, 1, -2) \) যেখানে \( \vec{P} \), \( \vec{Q} \) এবং \( \vec{R} \) প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে। \( \vec{P} \) এর উপর \( \vec{Q} \) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপের মান কত?
JUUnit-HSet-2পদার্থবিজ্ঞান প্রথম পত্রভেক্টরঅবস্থান নির্ণয় (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
\( -\frac{1}{\sqrt{6}} \)
Explanation: \( \vec{Q} \) এর লম্ব অভিক্ষেপ \( \vec{P} \) এর উপর নির্ণয় করতে, সূত্র \( \text{Projection} = \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{P}|} \) ব্যবহার করি। এখানে \( \vec{P} \cdot \vec{Q} = (1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1) = -3 \), এবং \( |\vec{P}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} \)। সুতরাং অভিক্ষেপের মান \( \frac{-3}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \)। সঠিক উত্তর Option D। অন্য অপশনগুলো ভুল কারণ তারা সঠিক গাণিতিক মান অনুসরণ করে না। নোট: ভেক্টরের অভিক্ষেপ তাদের অভিমুখ এবং মান নির্ধারণ করে।
Another Explanation (5): ```html
উত্তর: \( -\frac{1}{\sqrt{6}} \)
\( \vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \)
\( \vec{Q} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
এখন, \( \vec{P} \) এর উপর \( \vec{Q} \) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করতে হবে। লম্ব অভিক্ষেপের সূত্রটি হলো:
\( \text{proj}_{\vec{P}} \vec{Q} = \frac{\vec{Q} \cdot \vec{P}}{|\vec{P}|} \)
ডট গুণফল \( \vec{Q} \cdot \vec{P} \) নির্ণয় করি:
\( \vec{Q} \cdot \vec{P} = (-2)(1) + (1)(2) + (1)(-1) = -2 + 2 - 1 = -1 \)
এখন, \( |\vec{P}| \) এর মান নির্ণয় করি:
\( |\vec{P}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \)
সুতরাং, লম্ব অভিক্ষেপের মান:
\( \text{proj}_{\vec{P}} \vec{Q} = \frac{-1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \)
অতএব, \( \vec{P} \) এর উপর \( \vec{Q} \) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপের মান \( -\frac{1}{\sqrt{6}} \)। 🎉 ```
ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয়
প্রশ্ন:
ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে \( P(1, 2, -1) \), \( Q(-2, 1, 1) \) এবং \( R(3, 1, -2) \) যেখানে \( \vec{P} \), \( \vec{Q} \) এবং \( \vec{R} \) প্রসঙ্গ কাঠামোর সাপেক্ষে বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে। \( \vec{P} \) এর উপর \( \vec{Q} \) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপের মান কত?উত্তর: \( -\frac{1}{\sqrt{6}} \)
সমাধান:
প্রথমে, অবস্থান ভেক্টরগুলো নির্ণয় করি:\( \vec{P} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \)
\( \vec{Q} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} \)
এখন, \( \vec{P} \) এর উপর \( \vec{Q} \) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করতে হবে। লম্ব অভিক্ষেপের সূত্রটি হলো:
\( \text{proj}_{\vec{P}} \vec{Q} = \frac{\vec{Q} \cdot \vec{P}}{|\vec{P}|} \)
ডট গুণফল \( \vec{Q} \cdot \vec{P} \) নির্ণয় করি:
\( \vec{Q} \cdot \vec{P} = (-2)(1) + (1)(2) + (1)(-1) = -2 + 2 - 1 = -1 \)
এখন, \( |\vec{P}| \) এর মান নির্ণয় করি:
\( |\vec{P}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \)
সুতরাং, লম্ব অভিক্ষেপের মান:
\( \text{proj}_{\vec{P}} \vec{Q} = \frac{-1}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{6}} \)
অতএব, \( \vec{P} \) এর উপর \( \vec{Q} \) ভেক্টরের লম্ব অভিক্ষেপের মান \( -\frac{1}{\sqrt{6}} \)। 🎉 ```