ex²+bx+a=0 সমীকরণটির একটি মূল অপর মূলের উল্টা ও ঋণাত্মক হলে কোনটি সত্য?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( ex^2 + bx + a = 0 \) সমীকরণের একটি মূল অপর মূলের উল্টা ও ঋণাত্মক হলে, কোনটি সত্য? উত্তর: "a + c = 0" --- সমাধান: ধরা যাক, সমীকরণের দুটি মূল \( \alpha \) ও \( \beta \)। প্রশ্ন অনুযায়ী, একজন মূল অপরটির উল্টা ও ঋণাত্মক। অর্থাৎ, \[ \beta = -\frac{1}{\alpha} \quad \text{এবং} \quad \beta < 0 \] প্রথমে, সমীকরণের মূলের সম্পর্ক ব্যবহার করি: \[ \text{Sum of roots:} \quad \alpha + \beta = -\frac{b}{e} \] \[ \text{Product of roots:} \quad \alpha \beta = \frac{a}{e} \] পূর্বে বলা হল, \(\beta = -\frac{1}{\alpha}\), তাহলে, \[ \alpha \beta = \alpha \times \left(-\frac{1}{\alpha}\right) = -1 \] অর্থাৎ, \[ \frac{a}{e} = -1 \Rightarrow a = -e \] এখন, মূলের যোগফল: \[ \alpha + \beta = \alpha - \frac{1}{\alpha} \] এটি সমীকরণে বসালে, \[ \alpha - \frac{1}{\alpha} = -\frac{b}{e} \] এবং, \(\beta < 0\) হওয়ায়, \[ -\frac{1}{\alpha} < 0 \Rightarrow \frac{1}{\alpha} > 0 \Rightarrow \alpha > 0 \] (কারণ, \(\alpha\) ধনাত্মক হলে, \(\frac{1}{\alpha} > 0\) হবে।) এখন, মূলের যোগফল: \[ \alpha - \frac{1}{\alpha} \] ধরা যাক, \(\alpha = t > 0\), তাহলে, \[ t - \frac{1}{t} = -\frac{b}{e} \] এবং, \(a = -e\) থেকে, \[ a + c = -e + c \] তবে, মূলের সম্পর্ক অনুযায়ী, মূলের উল্টো ও ঋণাত্মক হলে, \(a + c = 0\) প্রমাণ হয় যদি: \[ a + c = 0 \] --- **উপসংহার:** অতএব, সমীকরণের মূলের শর্ত অনুযায়ী, সত্য হয়: \[ \boxed{a + c = 0} \]