\( (1,-1) \) বিন্দু থেকে \( 2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0 \) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত একক?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে বৃত্তের সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে: \[ 2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0 \] এটি সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করা যায়। প্রথমে সমীকরণটি সাধারণীকরণ করি: \[ 2x^2 - x + 2y^2 + 3y + 1 = 0 \] প্রতিটি বর্গের জন্য সম্পূরক যোগ করি: (1) \( 2x^2 - x \): \[ 2x^2 - x = 2\left( x^2 - \frac{x}{2} \right) \] \[ = 2\left( x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \right) - 2 \times \frac{1}{16} \] \[ = 2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{8} \] (2) \( 2y^2 + 3y \): \[ 2\left( y^2 + \frac{3}{2} y \right) \] \[ = 2\left( y^2 + \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} \right) - 2 \times \frac{9}{16} \] \[ = 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 - \frac{9}{8} \] এখন মূল সমীকরণে স্থানান্তর করি: \[ 2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{8} + 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 - \frac{9}{8} + 1 = 0 \] সংখ্যাগুলি যোগ করি: \[ 2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{1}{8} + \frac{9}{8} - 1 \] \[ 2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{10}{8} - 1 = \frac{10}{8} - \frac{8}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] দুটি পাশে 2 দিয়ে ভাগ করি: \[ \left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( y + \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{1}{8} \] অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র \( C \left( \frac{1}{4}, -\frac{3}{4} \right) \) এবং রেডিয়াস \( r = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \) --- এখন, দেওয়া পয়েন্ট \( P(1, -1) \) থেকে বৃত্তের স্পর্শক রৈখিকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে, পয়েন্ট থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব: \[ d = \sqrt{ (1 - \frac{1}{4})^2 + (-1 + \frac{3}{4})^2 } = \sqrt{ \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{9}{16} + \frac{1}{16} } = \sqrt{ \frac{10}{16} } = \frac{\sqrt{10}}{4} \] স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( l \): \[ l = \sqrt{ d^2 - r^2 } = \sqrt{ \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right)^2 - \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 } \] নির্ণয় করি: \[ l = \sqrt{ \frac{10}{16} - \frac{1}{4 \times 2} } = \sqrt{ \frac{10}{16} - \frac{1}{8} } \] সমানতুল্য: \[ \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \] অতএব, \[ l = \sqrt{ \frac{5}{8} - \frac{1}{8} } = \sqrt{ \frac{4}{8} } = \sqrt{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{\sqrt{2}} \] **অতএব, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:** \[ \boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}} \]