\( (1,-1) \) বিন্দু থেকে \( 2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0 \) বৃত্তে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত একক?
D. \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
সঠিক উত্তরঃ
D.
\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে বৃত্তের সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে:
\[
2x^2 + 2y^2 - x + 3y + 1 = 0
\]
এটি সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করা যায়। প্রথমে সমীকরণটি সাধারণীকরণ করি:
\[
2x^2 - x + 2y^2 + 3y + 1 = 0
\]
প্রতিটি বর্গের জন্য সম্পূরক যোগ করি:
(1) \( 2x^2 - x \):
\[
2x^2 - x = 2\left( x^2 - \frac{x}{2} \right)
\]
\[
= 2\left( x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} \right) - 2 \times \frac{1}{16}
\]
\[
= 2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{8}
\]
(2) \( 2y^2 + 3y \):
\[
2\left( y^2 + \frac{3}{2} y \right)
\]
\[
= 2\left( y^2 + \frac{3}{2} y + \frac{9}{16} \right) - 2 \times \frac{9}{16}
\]
\[
= 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 - \frac{9}{8}
\]
এখন মূল সমীকরণে স্থানান্তর করি:
\[
2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{1}{8} + 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 - \frac{9}{8} + 1 = 0
\]
সংখ্যাগুলি যোগ করি:
\[
2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{1}{8} + \frac{9}{8} - 1
\]
\[
2\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + 2\left( y + \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{10}{8} - 1 = \frac{10}{8} - \frac{8}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}
\]
দুটি পাশে 2 দিয়ে ভাগ করি:
\[
\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( y + \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{1}{8}
\]
অর্থাৎ, বৃত্তের কেন্দ্র \( C \left( \frac{1}{4}, -\frac{3}{4} \right) \) এবং রেডিয়াস \( r = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \)
---
এখন, দেওয়া পয়েন্ট \( P(1, -1) \) থেকে বৃত্তের স্পর্শক রৈখিকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, পয়েন্ট থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব:
\[
d = \sqrt{ (1 - \frac{1}{4})^2 + (-1 + \frac{3}{4})^2 } = \sqrt{ \left( \frac{3}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{9}{16} + \frac{1}{16} } = \sqrt{ \frac{10}{16} } = \frac{\sqrt{10}}{4}
\]
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \( l \):
\[
l = \sqrt{ d^2 - r^2 } = \sqrt{ \left( \frac{\sqrt{10}}{4} \right)^2 - \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 }
\]
নির্ণয় করি:
\[
l = \sqrt{ \frac{10}{16} - \frac{1}{4 \times 2} } = \sqrt{ \frac{10}{16} - \frac{1}{8} }
\]
সমানতুল্য:
\[
\frac{10}{16} = \frac{5}{8}
\]
অতএব,
\[
l = \sqrt{ \frac{5}{8} - \frac{1}{8} } = \sqrt{ \frac{4}{8} } = \sqrt{ \frac{1}{2} } = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
**অতএব, স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:**
\[
\boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}}
\]
