vec(r)=xhat(i)+yhat(j)+zhat(k) হলে hat(v).hat(r) কত হবে?
সঠিক উত্তরঃ
C.
3
Explanation:
Another Explanation (5):
দেওয়া আছে, \(\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\)
এখানে \(\hat{v}\) একটি একক ভেক্টর। যেহেতু \(\hat{v}\) এর মান দেওয়া নেই, তাই আমরা ধরে নিতে পারি, \(\hat{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}\), যেখানে \(a^2 + b^2 + c^2 = 1\) (যেহেতু এটি একটি একক ভেক্টর)।
এখন, \(\hat{v} \cdot \vec{r} = (a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k})\)
ডট গুণনের নিয়ম অনুযায়ী,
\(\hat{v} \cdot \vec{r} = ax + by + cz\)
যদি \(\hat{v}\) এমন একটি বিশেষ ভেক্টর হয় যে \(\hat{v} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}\) হয়, তবে \(\hat{v}\) একটি একক ভেক্টর হবে না। সে ক্ষেত্রে \(\hat{v}\) কে একক ভেক্টর বানান???র জন্য \(\sqrt{3}\) দিয়ে ভাগ করতে হবে।
যদি \(\hat{v} = \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{3}}\hat{k}\) হয়, তবে
\(\hat{v} \cdot \vec{r} = \frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}y + \frac{1}{\sqrt{3}}z = \frac{x+y+z}{\sqrt{3}}\)
কিন্তু উত্তর যেহেতু 3 দেওয়া আছে, তাই \(ax + by + cz = 3\) হতে হবে। 🤔
যদি আমরা ধরে নেই, \(x=3\), \(y=0\), \(z=0\) এবং \(\hat{v} = \hat{i}\), তাহলে
\(\hat{v} \cdot \vec{r} = (1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) = 3\)
একইভাবে, যদি \(y=3\), \(x=0\), \(z=0\) এবং \(\hat{v} = \hat{j}\) অথবা \(z=3\), \(x=0\), \(y=0\) এবং \(\hat{v} = \hat{k}\) হয়, তাহলেও \(\hat{v} \cdot \vec{r} = 3\) হবে।
কিন্তু কোনো সাধারণ ক্ষেত্রে \(\hat{v} \cdot \vec{r} = 3\) বলা যায় না। 😔
যদি প্রশ্নপত্রে \(\vec{r}\) এবং \(\hat{v}\) এর মধ্যে কোনো সম্পর্ক দেওয়া থাকত, তাহলে উত্তর বের করা সহজ হত।