c এর মান কত হলে মূলবিন্দুতে y=cx(1+x) স্পর্শক x অক্ষের সাথে 30°কোণ উৎপন্ন করে?

প্রশ্ন:

c এর মান কত হলে মূলবিন্দুতে \( y = cx(1+x) \) স্পর্শক x অক্ষের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান:

দেওয়া আছে, \( y = cx(1+x) \)

\( \Rightarrow y = cx + cx^2 \)

\( x \) এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই,

\( \frac{dy}{dx} = c + 2cx \)

মূলবিন্দুতে \( (0, 0) \) স্পর্শকের নতি,

\( \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = c + 2c(0) = c \)

যেহেতু স্পর্শকটি \( x \) অক্ষের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে, তাই স্পর্শকের নতি \( \tan 30^\circ \) এর সমান হবে।

সুতরাং, \( c = \tan 30^\circ \)

আমরা জানি, \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

অতএব, \( c = \frac{1}{\sqrt{3}} \) 🥳🎉

সুতরাং, \( c \) এর মান \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) হলে মূলবিন্দুতে \( y=cx(1+x) \) স্পর্শক \( x \) অক্ষের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে।

উত্তর:

\( \frac{1}{\sqrt{3}} \)