\( k \) কোন এর মানের জন্য \( (x - y + 3)^2 + (kx+2)(y-1) = 0 \) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো: \[ (x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0 \] আমরা জানি, একটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো: \[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \] এবং এটি তখনই একটি বৃত্ত হবে যদি, এর কোঅর্ডিনেটের সমীকরণটি সম্পূর্ণ বর্গাকারে রূপান্তর করা যায় বা এর কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধের মান নির্ণয় করা যায়, অর্থাৎ সমীকরণটি কেবলমাত্র \(x^2\) ও \(y^2\) এর সাথে থাকবে এবং \(xy\) বা অন্য কোন অপ্রয়োজনীয় বিভাজন না থাকুক। প্রথমে সমীকরণটি সরলীকরণ করি: \[ (x - y + 3)^2 + (kx + 2)(y - 1) = 0 \] বৃন্ত: \[ (x - y + 3)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9 \] এবং: \[ (kx + 2)(y - 1) = kx(y - 1) + 2(y - 1) = kxy - kx + 2y - 2 \] সুতরাং, সমীকরণটি হয়: \[ x^2 - 2xy + y^2 + 6x - 6y + 9 + kxy - kx + 2y - 2 = 0 \] সমস্ত টার্মগুলো একত্রিত করি: \[ x^2 + y^2 + (-2xy + kxy) + (6x - kx) + (-6y + 2y) + (9 - 2) = 0 \] সরলীকরণ করি: \[ x^2 + y^2 + (k - 2)xy + (6 - k)x + (-4y) + 7 = 0 \] এখন, এই সমীকরণটি একটি বৃত্তের সমীকরণের জন্য, এর \(xy\) টার্মটি অবশ্যই 0 হওয়া ??বশ্যক, কারণ বৃত্তের সমীকরণে \(xy\) টার্ম থাকতে পারে না। অর্থাৎ: \[ k - 2 = 0 \] অথবা: \[ k = 2 \] এখন, \(k=2\) হলে, সমীকরণটি হবে: \[ x^2 + y^2 + (6 - 2)x - 4y + 7 = 0 \] অর্থাৎ: \[ x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0 \] এটি সম্পূর্ণ বর্গাকারে রূপান্তর করি: \[ (x^2 + 4x) + (y^2 - 4y) = -7 \] প্রতিটি গ্রুপে সম্পূর্ণ বর্গ যোগ করি ও বাদ দিই: \[ (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = -7 + 4 + 4 \] \[ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 1 \] এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যেখানে কেন্দ্র হলো \((-2, 2)\) এবং ব্যাসার্ধ হলো \(\sqrt{1} = 1\)। অতএব, সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে যদি এবং কেবল যদি: \[ k = 2 \] উত্তর: \(\boxed{2}\)